关于多元函数极值与最值第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值回顾:第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日2、驻点使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点驻点极值点注意第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束驻点第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日在点(?3,0)处不是极值;在点(?3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日方法2拉格朗日乘数法例如第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有机动目录上页下页返回结束第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动目录上页下页返回结束第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,下在条件机动目录