关于定积分的几何应用第1页，共26页，星期日，2025年，2月5日回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、元素法第2页，共26页，星期日，2025年，2月5日面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值第3页，共26页，星期日，2025年，2月5日abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素第4页，共26页，星期日，2025年，2月5日第5页，共26页，星期日，2025年，2月5日微元法的一般步骤：第6页，共26页，星期日，2025年，2月5日这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．第7页，共26页，星期日，2025年，2月5日[f上(x)?f下(x)]dx,它也就是面积元素.二、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成.因此平面图形的面积为在点x处面积增量的近似值为1.直角坐标情形第8页，共26页，星期日，2025年，2月5日讨论：由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy,第9页，共26页，星期日，2025年，2月5日例1计算抛物线y2?x与y?x2所围成的图形的面积.解(2)确定在x轴上的投影区间:(4)计算积分[0,1];(1)画图;第10页，共26页，星期日，2025年，2月5日例2计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间:(4)计算积分(3)确定左右曲线:[-2,4].解(1)画图;第11页，共26页，星期日，2025年，2月5日例3因为椭圆的参数方程为x?acost,y?bsint,所以解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.于是ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为第12页，共26页，星期日，2025年，2月5日曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线???(?)及射线???,???所围成的图形.曲边扇形的面积2.极坐标情形第13页，共26页，星期日，2025年，2月5日例4计算阿基米德螺线??a?(a0)上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解例5计算心形线??a(1?cos?)(a0)所围成的图形的面积.解曲边扇形的面积：第14页，共26页，星期日，2025年，2月5日三、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.1.旋转体的体积第15页，共26页，星期日，2025年，2月5日旋转体都可以看作是由连续曲线y?f(x)、直线x?a、a?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.1.旋转体的体积旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV??[f(x)]2dx.第16页，共26页，星期日，2025年，2月5日例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x?h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.旋转体的体积：解第17页，共26页，星期日，2025年，2月5日解轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为旋转体的体积：例7计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.第18页，共26页，星期日，2025年，2月5日设立体在x轴上的投影区间为[a,b],