定义7.13对于给定的函数如果存在使则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的最佳平方逼近函数。求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数使多元函数取得极小值。I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，(k=0,1,2,…,n)得方程组最小二乘！如采用函数内积记号方程组可以简写为写成矩阵形式为法方程组！由于?0,?1,…,?n线性无关，故Gn?0，于是上述方程组存在唯一解。从而肯定了函数f(x)在?中如果存在最佳平方逼近函数，则必是三利用正交多项式进行最小二乘拟合将选为带权的正交多项式系第七章函数逼近用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差或余项。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题函数逼近问题的一般提法：对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B(?A)中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。最常用的度量标准：(一)一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差作为度量误差f(x)－p(x)的“大小”的标准在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近对于任意给定的一个小正数?0，如果存在函数p(x)，使不等式成立，则称该函数p(x)在区间[a,b]上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。(二)平方逼近：采用作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。§1正交多项式一、正交函数系的概念考虑函数系1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-?,?]上的积分都等于0！我们称这个函数中任何两个函数在[-?,?]上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：那么这个函数系在[-?,?]上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的)1．权函数定义7.1设?(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)?(x)≥0，对任意x?[a,b]，(2)积分存在，(n=0,1,2,…)，(3)对非负的连续函数g(x)若则在(a,b)上g(x)?0称?(x)为[a,b]上的权函数2．内积定义7.2设f(x)，g(x)?C[a,b]，?(x)是[a,b]上的权函数，则称为f(x)与g(x)在[a,b]上以?(x)为权函数的内积。内积的性质：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0?f=0；(2)(f,g)=(g,f)；(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。3．正交性定义7.3设f(x)，g(x)?C[a,b]若则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权?(x)正交。定义7.4设在[a,b]上给定函数系，若满足条件则称函数系{?k(x)}是[a,b]上带权?(x)的正交函数系，若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以?(x)为权的在[a,b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权?(x)的n次正交多项式。特别地，当Ak?1时，则称该函数系为标准正交函数系。二、常用的正交多项式1．切比雪夫(чебыщев)多项式定义7.5称多项式为n次的切比雪夫多项式(第一类)。切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：由{Tn(x)}所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。且(2)递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：(