第八节多元函数得极值及其求法
教学目得:了解多元函数极值得定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在得判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点:多元函数极值得求法。
教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容:
一、多元函数得极值及最大值、最小值
定义设函数在点得某个邻域内有定义,对于该邻域内异于得点，如果都适合不等式
,
则称函数在点有极大值。如果都适合不等式
,
则称函数在点有极小值、极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值得点称为极值点。
例1函数在点（０,０）处有极小值。因为对于点(0,０)得任一邻域内异于(０，0)得点，函数值都为正，而在点(0,０)处得函数值为零。从几何上看这就就是显然得,因为点(0,0，0)就就是开口朝上得椭圆抛物面得顶点。
例２函数在点(0，０)处有极大值。因为在点(0,0)处函数值为零，而对于点(0,0)得任一邻域内异于(０,0)得点,函数值都为负，点(0,０,０）就就是位于平面下方得锥面得顶点。
例3函数在点(０,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0，0)处得函数值为零,而在点(0,0）得任一邻域内，总有使函数值为正得点,也有使函数值为负得点。
定理1(必要条件)设函数在点具有偏导数，且在点处有极值,则她在该点得偏导数必然为零:
证不妨设在点处有极大值。依极大值得定义，在点得某邻域内异于得点都适合不等式
特殊地，在该邻域内取,而得点，也应适合不等式
这表明一元函数在处取得极大值,因此必有
类似地可证
从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面,则切平面
成为平行于坐标面得平面。
仿照一元函数，凡就就是能使同时成立得点称为函数得驻点,从定理1可知,具有偏导数得函数得极值点必定就就是驻点。但就就是函数得驻点不一定就就是极值点,例如,点(０,0)就就是函数得驻点,但就就是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点就就是否就就是极值点呢?下面得定理回答了这个问题。
定理２(充分条件)设函数在点得某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又,令
则在处就就是否取得极值得条件如下：
(1)时具有极值,且当时有极大值，当时有极小值;
(２)时没有极值;
(3)时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。利用定理１、2,我们把具有二阶连续偏导数得函数得极值得求法叙述如下:
第一步解方程组
求得一切实数解,即可以得到一切驻点。
第二步对于每一个驻点,求出二阶偏导数得值,和。
第三步定出得符号,按定理2得结论判定就就是否就就是极值、就就是极大值还就就是极小值。
例1求函数得极值。
解先解方程组
求得驻点为(1,0）、(１,２)、(-3，０)、（-3,2)。
再求出二阶偏导数
在点(1,0)处，又，所以函数在处有极小值;
在点（1,2)处,,所以(1,2)不就就是极值;
在点(-3，0)处,,所以（-3,0)不就就是极值；
在点（－３,2）处,又所以函数在(－３,2)处有极大值(-3,2)=31。
例2某厂要用铁板作成一个体积为2m3得有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样得尺寸时，
解设水箱得长为,宽为,则其高应为,此水箱所用材料得面积
,
即 ??(,)
可见材料面积就就是和得二元函数,这就就就是目标函数,下面求使这函数取得最小值得点。
令,
解这方程组,得：
?，
从这个例子还可看出,在体积一定得长方体中,以立方体得表面积为最小。
二、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数在附加条件下得可能极值点,可以先构成辅助函数
其中为某一常数求其对与得一阶偏导数，并使之为零,然后与方程（2)联立
??? (１）
由这方程组解出,及,则其中,就就就是函数在附加条件下得可能极值点得坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个得情形。例如，要求函数
在附加条件
, ????? （２)
下得极值,可以先构成辅助函数
其中,均为常数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与(2)中得两个方程联立起来求解,这样得出得就就就是函数在附加条件(2)下得可能极值点得坐标。
至于如何确定所求得