因此成为中心二次曲线(1)的主方向的条件是(5.4-1)或把它改写成这是一个关于的齐次线性方程组，而不能全为零，所以成立，其中第31页，共45页，星期日，2025年，2月5日(5.4-3)即那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向而垂直于它的方向显然为2.如果二次曲线(1)为非中心二次曲线因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.4-3)解出，再代入(5.4-1)就能得到它的主方向.(5.4-２)第32页，共45页，星期日，2025年，2月5日关于二次曲线的一般理论第1页，共45页，星期日，2025年，2月5日§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。事实上，为渐近方向第2页，共45页，星期日，2025年，2月5日事实上，为渐近方向第3页，共45页，星期日，2025年，2月5日可见，对椭圆，∵对双曲线∴它有二不同实渐近方向；∴它有二相同的实渐近方向；，∵，∵∴它没有实渐近方向；对抛物线对双曲线∴它也有二不同实渐近方向；，∵第4页，共45页，星期日，2025年，2月5日定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I20；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I202.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：第5页，共45页，星期日，2025年，2月5日二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：第6页，共45页，星期日，2025年，2月5日定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。二次曲线分类：第7页，共45页，星期日，2025年，2月5日渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线;双曲型二次曲线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线,若其为无心的,则其没有渐近线,若其为线性的,则由于其渐近方向为，而这正是中心直线的方向，∴它的渐近线即为中心直线。第8页，共45页，星期日，2025年，2月5日定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。则l与曲线不相交，第9页，共45页，星期日，2025年，2月5日§5.3二次曲线的直径1.二次曲线的直径在§5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.第10页，共45页，星期日，2025年，2月5日求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即，解而是平行于方向的弦的中点，设是二次曲线的一个非渐近方向，那么过的弦的方程为它与二次曲线的两交点(即弦的两端点)由下列二次方程第11页，共45页，星期日，2025年，2月5日(1)从而有(5.3-1)两根与所决定,因为为弦的中点，所以有这就是说平行于方向的弦的中点的坐标满足方程第12页，共45页，星期日，2025年，2月5日即(5.3-2)或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则一条直线.(5.3-3)所以(5.3-3)或(5.3-1)是一个二元一次方程，它是反过来，这与