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《综合法和分析法》提升训练
(时间：60分钟；分值：75分)
一、选择题（每小题5分，共35分）
1.(2018云南峨山一中期末，★★☆)已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）
A.
B.
C.
D.
2.(2018湖南桃江一中期末，★★☆)已知，，，则以下结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.，大小不定
3.(2018广西来宾期末，★★☆)已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则()
A.
B.
C.
D.
4.(2018广西南宁三中期末，★★☆）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.(2018广西南宁三中期末，★★☆)设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2018山西临汾一中期末，★★☆)在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则()
A.
B.
C.
D.
7.(2018山西临汾一中期末，★★☆)过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
8.(2018山东泰安期末，★★☆)若两个正实数，满足，则的最小值是_____.
9.(2018陕西安康期末，★☆☆已知非零向量，满足，，则与的夹角为_____.
10.(2018辽宁大连期末，★★☆已知的内角，，满足，，则角______.
11.(2018湖北武汉期末，★★☆)已知是椭圆上异于点，的一点，的离心率为，则直线与的斜率之积为_____.
三、解答题（共20分）
12.(10分）（2018浙江台州中学期末，★★☆）已知数列的首项，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对任意的，有，；
(3)证明：.
13.(10分）（2018安徽凤阳临淮中学期末，★★☆)如图，抛物线与椭圆在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：如图所示，当点C位于垂直于平面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积，故选C.
2.
答案：B
解析：因为，，假设，即，即，两边平方，并整理得，两边平方，得，即.
3.
答案：D
解析：两个完全平方式的和等于零，故，，故，解得，所以.
4.
答案：D
解析：，
或，故选D.
5.
答案：B
解析：若、的交线时，，但、相交，故不能推出，而能推出.
6.
答案：C
解析：，，，，.
7.
答案：D
解析：易知，不妨设，，，当，即时，为钝角，此时.
当，即时，为钝角，则，，即，设，则，则，从而.故选D.
二、填空题
8.
答案：见解析
解析：，当且仅当即时，等号成立.
9.
答案：见解析
解析：由，可得，，，，与的夹角为.
10.
答案：见解析
解析：由正弦定理，得，，，则，.
11.
答案：见解析
解析：设，则，由变形可得，.
三、解答题
12.
答案：见解析
解析：(1)，，即，，又，，.
(2)证明：由（1)知，
，原不等式成立.
(3)证明：由（2)知，对任意的，
，取，则，原不等式成立.
13.
答案：见解析
解析：（1)设，因为的面积为，，所以，
代入椭圆方程得，将点坐标代入抛物线方程得，所以抛物线的方程为.
(2)存在.
理由：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设，，，，则，，所以.由于直线的斜率为，故直线的方程为，与联立得，同理，，所以，可得，要使，只需，即，解得，所以存在直线符合条件.