《概率统计》下页结束返回*第五章极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli)大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗－拉普拉斯（DeMoivre－laplace）定理列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．第五章极限定理一、大数定律二、中心极限定理下页大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研
究大量随机现象统计规律性的。阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。本章概述下页§5.1大数定律一、切比雪夫不等式(ε是任一正数)1.对于任何具有有限方差的随机变量X，都有则证明：(以连续型随机变量为例)设X的概率密度为f(x)，下页2.不等式的等价形式例1．估计的概率．解:作用：（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。下页例2．若在每次试验中，A发生的概率为0.5，进行1000次独立试验，估计A发生400～600次之间的概率。解：因X～B（1000，0.5），E（X）=500，D（X）=250所以P{400X600}=P{|X-500|100}e2)(1}|)({|eXDXEXP-≥-由得，P{|X-500|100}下页例3.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。解:令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时E(X)=np=7000,D(X)=npq=2100，由切贝雪夫不等式可得下页“概率”的概念是如何产生的设次独立重复试验中事件发生的随机变量频率概率“频率稳定性”的严格数学描述是什么怎样定义极限次数为则当时,有n重伯努利试验怎样理解“越来越接近”？实验序号10.700.2020.550.0560.500.0050.700.2030.650.1540.350.1570.550.05将一枚硬币抛20次，200次，2000次，各做10遍80.300.2090.450.05100.300.200.5200.0200.4550.0450.4950.0050.4950.0050.4800.0200.5400.0400.5050.0050.5050.0050.5500.0500.4900.0100.5050.00500.4950.0050.4930.0070.5060.0060.49550.00450.4940.0060.5020.0020.5010.0010.5090.0090.5000.000定理2（贝努里大数定律）设n重贝努里试验中事件A发生nA次,每次试验事件A发生的概率p，则对任意ε＞0有下页这就是以频率定义概率的合理性依据。即，对于任意ε＞0，当n充分大时，不等式定理1(切贝雪夫大数定律)如果X1，X2…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，每一个Xi都有数学期望E(Xi）和有限的方差D(Xi),且方差有公共的上界，即则对于任意ε＞0，有依概率1成立。下页证:因相互独立，所以又因，由切贝雪夫不等式可得所以切贝雪夫大数定律表明,相互独立的随机变量的算术平均值与其数学期望的差,在n充分大时以概率1是一个无穷小量.这意味着在n充分大时，的值将比较紧密地聚集在它的数学期望附近．下页《概率统计》下页结束返回*