湖北省部分省级示范高中2024~2025学年下学期期中测试
高二数学试卷
命题人:武汉市第十二中学段玉慧审题人:武汉市第二十三中学何同海
考试时间:2025年4月24日试卷满分:150分
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.如果函数在处的导数为1,那么()
A.B.C.1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义即可.
【详解】由题意可知,
则.
故选:D
2.等比数列的各项均为正数,且,则()
A.B.C.D.
【答案】B
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【解析】
【分析】由等比数列的基本性质得出,再结合对数的运算性质可求得结果
.
【详解】因为等比数列的各项均为正数,且,
由等比数列的性质得,
因此,.
故选:B.
3.系统的登录密码由个字符组成,其中前位是大写字母、、、的某种排列,后
位是不相同的数字,则可能的密码总数是多少()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数,利用排列计数原理可得出后两位的排法种数,再利用
分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知,前个位置中有两个位置安排字母,有种,
然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置,有种,
由分步乘法计数原理可知,可能的密码种数为.
故选:C.
4.函数在上单调递增的充要条件是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为在上恒成立,然后分离参数,构造函数,利用导数求得其最大值,
即可得到结果.
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【详解】由题意可得在上恒成立,
即在上恒成立,
令,则,
令,则,
当时,,则函数单调递增,
当时,,则函数单调递减,
所以时,有极大值,即最大值,,
所以.
故选:A
5.设函数的导函数,则数列的前100项和是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的导函数可得,再利用裂项求和可求得结果.
【详解】由可得其导函数为,
又,可得,所以,
所以,
因此数列的前100项和为
.
故选:C
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6.已知,则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数,再利用导数求出切线方程,求出切线和坐标轴的交
点,最后得到三角形面积即可.
【详解】因为,所以,
令,得到,解得,
代回原函数得到,
而,故切点为,
而,,
设曲线在处的切线斜率为,
由导数的几何意义得,
故切线方程为,化简得,
令,得到,所以与轴交点为,
令,得到,所以与轴交点为,
且设三角形面积为,故,故B正确.
故选:B
7.已知是定义在区间上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则下列
结论正确的是()
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A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式可构造函数,判断出函数在上单调递减即可
得出结论.
【详解】由可得,
令函数,
可得即在上单调递减,
因此可得,即,所以.
故选:B
8.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是:任
意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数.设
,其中均为自然数,则满足条件的有序数组的个数是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】这道题考查的是排列的应用,首先找出小于等于的自然数的平方有哪些,再列出可由哪些
平方数(不超过四个)相加而成,最后算出这些数的排列数即可.
【详解】小于等于的自然数的平方有:,而
,
由构成的有序数组的个数为:个;
由构成的有序数组的个数为:个;
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由构成的有序数组的个数为:个;
所以一共有:个.
故选:C.
【点睛】方法点睛:本题主要考查排列的应用,局部元素相同法求排列数: