四川省自贡市田家炳中学2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题（普高）
一、单选题（本大题共8小题）
1．的展开式中常数项是（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若，则可导函数在处的导数为（????）
A． B． C．1 D．2
3．若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（????）
A．625 B．1024 C．120 D．24
4．已知函数，，则曲线在点处的切线方程为（????）
A． B．
C． D．
5．学校乒乓团体比赛采用场胜制（场单打），每支球队派名运动员参赛，前场比赛每名运动员各出场次，其中第、位出场的运动员在后场比赛中还将各出场次，假设某球队派甲、乙、丙名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（????）
A． B． C． D．
6．若函数在上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（????）
A． B．
C． D．
7．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（????）
A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
8．若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导过程正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．对任意实数，有，则（????）
A． B．
C． D．
11．已知函数，是的导函数，且，其中，则下列说法正确的是（????）
A．的所有极值点之和为0
B．的极大值点之积为2
C．
D．的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．计算：.（用数字作答）
13．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是．
14．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有个．（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
(1)求展开式中所有二项式系数的和；
(2)求展开式中的常数项.
16．已知数列中，，，数列是等差数列，且．
(1)求，和数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
17．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值.
18．已知函数.
(1)若在处取得极小值，求实数的值；
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.
19．已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项；
(3)证明：，.
参考答案
1．【答案】D
【详解】的展开式的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中常数项是，
故选D.
2．【答案】A
【详解】由已知可得，，
所以，.
根据导数的概念可知，在处的导数.
故选A.
3．【答案】B
【详解】依题意，每位实习学生均有4种报名方式，
由分步乘法计数原理可得不同的报名方式有种.
故选B.
4．【答案】B
【详解】点位于函数上，
∴将x=1代入原函数得到=3,切线过点(1，3)，
，∴切线斜率，
∴切线方程为，即，
故选B.
5．【答案】C
【详解】分以下几种情况讨论：
①若前场比赛全赢，此时，不同的出场情况种数为种；
②若共打场比赛，则第场赢，前场赢场，且第场为第或第位运动员出场，
此时，不同的出场情况种数为种；
③若共打场比赛，则第场赢，前场赢场，最后场为第和第位运动员各出场次，
此时，不同的出场情况种数为种.
综上所述，不同的出场情况种数为种.
故选C.
6．【答案】D
【详解】令，则，而正负不确定，
则函数的单调性不确定，当时，的大小关系不确定，AC错误；
令，由，得，函数为R上的单调递减，
由，得，即，B错误，D正确.
故选D.
7．【答案】C
【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，故正确，
故选.
8．【答案】D
【解析】求出函数的导数，将问题转化为在恒成立，令，求出的最小值，从而可求得a的取值范围．
【详解】由函数可得，
若在区间内单调递增，
则在x∈恒成立，
即在x∈恒成立，
令
由，
∴
故，
即实数a的取值范围是．
故选D．
9．【答案】ABC
【详解】A选项：因为，所以，故A正确；
B选项：因为，故B正确；
C选项：因为，所以，故C正确；
D选项：因为，故D