四川省泸州市三校联盟2024?2025学年高二下学期第一次联合考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（????）
A． B． C． D．
2．“”是“直线与直线平行”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．记为等差数列的前项和，，，则（????）
A．58 B．63 C．75 D．84
4．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（????）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（）
A． B．4 C．3 D．－3
6．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立
C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（????）．
A．13 B．12 C．10 D．8
8．已知，当时，，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（）
A． B．样本中得分不低于80分的同学有15名
C．估计样本的40%分位数为66分 D．该组数据的平均数大于众数
10．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（????）
A．与点关于x轴对称的点的坐标为
B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底
C．已知，，则在上的投影向量的坐标为
D．已知，平面的法向量为，则
11．函数，则下列结论正确的是（????）
A．当时，函数只有一个零点
B．若函数的对称中心为，则
C．若函数在上为减函数，则
D．当时，设的三个零点分别为，，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的图象在点处的切线方程为.
13．设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是．
14．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为.（参考数据：）
四、解答题（本大题共5小题）
15．设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，是数列的前n项和，求证：.
16．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
17．已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点.
18．已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．
19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：
，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和；
(3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．
参考答案
1．【答案】A
【详解】该机器人在时刻时的瞬时速度为
故选A.
2．【答案】C
【详解】当直线与直线平行时，，且，解得
当时，直线为，直线为，两直线平行.
因此“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选C.
3．【答案】D
【详解】由，所以，
又，所以，
设该等差数列的公差为d，则由题意可知，
所以.
故选D.
4．【答案】B
【详解】将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排法，
而后将丙、丁进行插空，有3个空，有种排法，故共有＝24种排法.
故选B.
5．【答案】D
【详解】已知，得，
因，则存在两根，
不妨设，则由得，或；得，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为函数的极大值点和极小值点，
又，是函数的极值点，所以