2024-2025学年上海市金山中学高二年级下学期期中考试数学试卷
一?填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知集合，则__________.
2.已知球的体积为，则球的表面积为__________.
3.已知，则__________.
4.从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为__________.
5.为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种
6.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________.
7.甲?乙两个样本茎叶图如图，将甲中的一个数据调入乙，使调整后两组数据的平均值都比调整前增大，则这个数据可以是__________.（填一个数据即可）
8.在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________.
9.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
10.如图，已知正四面体中，点分别是所在棱中点，点满足且，记，则当且时，数量积的不同取值可以是__________个.
11.在平面中，非零向量满足，则的最小值为__________.
12.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为__________.
二?选择题（本大题共有4题，满分18分，第13?14题每题4分，第15?16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，则该题被攻克的概率为（）
A.B.C.D.
14.已知（其中为虚数单位）是关于的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
15.冰淇淋蛋筒为大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（忽略蛋筒厚度）（）
A.B.
C.D.
16.无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（）
A.数列为严格减数列
B.存在正整数，使得
C.数列中存在某一项为最大项
D.存在正整数，使得
三?解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知六面体的底面是矩形，，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知平面向量，函数.
（1）求的单调区间；
（2）在锐角中，分别是内角所对的边，若，求周长的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.
（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，为弦的中点，证明：点在定直线上；
（3）求椭圆的内接菱形边长的最大值.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数.
（1）若直线是曲线在处的切线，求的表达式；
（2）若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合；
（3）当时，方程在区间上恰有1个解，求的取值范围.
2024-2025学年上海市金山中学高二年级下学期期中考试数学试卷
2025
一?填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】集合，故.
2.【答案】
【解机】由题意知.
3.【答案】2
【解析】，
.
4.【答案】90
【解析】将数据从小到大排列：，由，故该组数据的第60百分位数为第5个数，即90.
5.【答案