上海上海师范大学附属中学2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、填空题（本大题共12小题）
1．已知函数在处可导，且，则.
2．曲线在点处的切线方程是．
3．有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有种．（用数字作答）
4．二项式的展开式中，常数项为
5．今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道.现抽取2024年前11个月的每月日的实物黄金价格数据如下表所示，则这组黄金价格数据的第75百分位数是
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
黄金价格(元/克)
624
616
630
691
708
716
714
737
743
768
815
6．某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率分别为0.2和.若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则.
7．函数的单调减区间是.
8．函数，的最小值是.
9．记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有.
10．若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是.
12．已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是.
二、单选题（本大题共4小题）
13．已知事件和相互独立，且则（????）
A． B． C． D．
14．甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
则下列说法错误的是（???）
A．甲组数据的第75百分位数是255
B．乙组数据的众数是245
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为
D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低
15．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（????）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值
16．已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（???）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式及单调增区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
18．某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客摸到均为红球的概率；
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率.
19．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：
??
(1)求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分．
(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率．
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差．
20．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
21．函数的导函数记为，若对的定义域内任意，存在实数，使得不等式成立，则称为上的“函数”．
(1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由；
(2)若函数是上的“函数”，求的取值范围；
(3)若函数是上的“函数”，且存在，对任意，当时，都有恒成立，求的最