高二数学期中模拟试题（三）
一?单选题：（40分）
1.若函数，则导函数（）
A.B.
C.D.
2.已知等差数列满足：，则的公差为（）
A.1B.2C.D.
3.已知数列满足，设其前项和为，则（）
A.2400B.2500C.2600D.2700
4.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（）
A.B.
C.D.
5.已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（）
A.B.
C.D.
6.在数列中，，对任意，则（）
A.B.C.D.
7.当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
8.已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
一?多选题：（18分）
9.已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（）
A.数列为等差数列
B.数列为等比数列
C.
D.若，则数列的前项和
10.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（）
A.B.
C.D.
11.已知函数，以下命题正确的是（）
A.若函数不存在极值，则实数的取值范围是
B.方程的所有实根的和为8
C.过点且与曲线相切的直线有三条
D.方程，则的极大值为
三?填空题：（15分）
12.已知等差数列的前项和为，且，则__________.
13.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕__________万千克.
14.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，蒋化成的变形技巧，已知函数，若，则的最小值为__________.
四?解答题：（77分）
15.（13分）已知正项数列满足，且（）.
（1）求的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为，是否存在p?q，使得恒成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由.
16.已知函数（且）.
（1）当时，求的极小值点与极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，（），且，证明：.
17.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：.
18.已知数列满足，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：.
19.已知函数.
（1）设过点且与曲线过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线.若曲线在点处的法线与直线平行，求实数的值；
（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值；
（3）若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
高二数学模拟试题（四）
参考解答
1.A【解】.故选：A
2.B【解】，则前20项和
“设写错”项为，则，解得，故写错之前这个数为.故选：B.
3.A【解】因为为等差数列的前项和，设公差为，所以，即得，所以，所以，则.故选：A.
4.C【解】因为，故排除A，D；令在是减函数，，在是增函数，，存在，使得单调递减，单调递增，所以选项B错误，选项C正确.故选：C.
5.C【解】对A选项，由题意得：A选项正确；
对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则是以首项为1，公比为2的等比数列，的前项和即为B选项正确；
对C选项，C选项错误；
对D选项，由B选项分析可得，又，又是以首项为，公比为3的等比数列，选项正确.故选：C.
6.A【解】因为函数为幂函数，所以，即，
解得或.当时，；当时，.
因为函数对任意的，且，满足，
所以函数在上单调递增，所以曲线，
因为，得曲线的对称中心为，所以，
即，
又因为两点不重合，故，得，所以.
关于点对称，设①
②，两式相加得.故选：A.
7.C【解】为偶函数，则，左右两边同时求导得，，将看作整体得①，将图象向右平移2个单位得到，因为为偶函数，则图象关于对称，即②，①②两式联立得，即，
用代替得，故，即的周期为4，因，则①式中令有，令有，
②式中令有，令有，
则.故选：C
8.A【解】令，则，令，得，令
，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，所以函数的图象如图所示：
令，因为函数在上有3个零点，则有2个不同的根，故，
解得或，当时，，又