山东省实验中学2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数的图像开口向下，，则（）
A．1 B．2 C． D．
2．已知函数在处有极小值，则c的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
3．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）
A． B． C． D．
4．已知，，，其中为自然对数的底数，则（????）
A． B． C． D．
5．若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（????）
A． B． C．0 D．1
6．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（????）
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
8．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机事件，，则（????）
A． B．若，则A，B独立
C．若，则，互斥 D．若，则
10．若函数，则（）
A．的图象是中心对称图形 B．在上单调递减
C．的极小值点为 D．有两个零点
11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是（）
A．第10行所有数字的和等于1024
B．第10行所有数字的平方和等于
C．若第n行的第i个数记为，则
D．记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数为．
13．某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有种（用数字作答）
14．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列.
(1)求的值.
(2)记，求被除的余数.
16．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．
17．已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，求的取值范围.
19．已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S．
（i）求证：函数在上具有性质S；
（ii）记，其中，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以，解得或，
又函数的图像开口向下，所以.
故选C
2．【答案】A
【详解】因为，所以，
因为在处有极小值，则，
故，解得或，
当时，，则，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以在处取得极小值，符合题意；
当时，，则，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以在处取得极大值，不符合题意；
综上：.
故选A.
3．【答案】B
【详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个
当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同
满足题意的五位数共有：个
本题正确选项：
4．【答案】A
【详解】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】因为直线与曲线相切，切点为，
可知直线的方程为，
又直线与曲线也相切，切点为，
可知直线的方程为，
所以，两