黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024?2025学年高二下学期4月考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列满足，则等于（????）
A． B． C． D．
2．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图．对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（????）
A． B．
C． D．
3．已知数列的前n项和，则（）
A． B．2 C．4 D．8
4．设是等比数列的前n项和，若，，则（）
A．8 B．9 C．18 D．19
5．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：
x
20
23
25
27
30
z
2
2.4
3
3
4.6
由上表可得经验回归方程，则（）
A． B． C． D．3
6．记为等差数列的前项和，已知，，则（????）
A． B． C． D．
7．已知数列的各项为正数，且，，则（）
A． B． C． D．
8．若等差数列满足，则（）
A．2025 B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列的叙述正确的有（）
A．关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强
B．关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差
C．关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大
D．关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：）
10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（）
A． B．为中的最大项
C． D．
11．如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（????）
A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列
B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列
C．数列是首项为，公比为的等比数列
D．当n无限增大时，趋近于定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列中，，，，则.
13．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数n的值为.
14．已知数列的前n项和，且，数列，均为等差数列，又数列的前n项和为，且，则的值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)且，求数列的前2n项和.
16．已知数列满足（，），且.
(1)求，，并证明数列是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和.
17．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
(1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？
性别
合计
男性
女性
喜欢担任
不喜欢担任
合计
附：，
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(2)若某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）之间具有较强的线性相关性，求回归直线方程，并预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量.
数据统计如表：
志愿者人数x（人）
2
3
4
5
6
日垃圾分拣量y（千克）
24
29
41
46
60
参考数据，附：，
18．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足：，求数列的通项公式；
(3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．若数列的前项和，满足，其中、，则称数列是数列.
(1)若，判断是否为数列；
(2)若数列是数列，且，求数列的通项公式；
(3)在（2）成立的条件下，若数列是数列，，数列的前项和，且，求证：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，解得.
故选B.
2．【答案】A
【详解】对于A，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故A正确；
对于B，残差与观测时间有线性关系，故B错误；
对于C，残差的方差