龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考
高二数学试题
（考试时间：120分钟总分：150分）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数满足，则（）
A．1 B．2 C． D．3
2．已知，，不共面，若，，且A，B，C三点共线，则（）
A． B．1 C．2 D．3
3．下列导数运算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（）
A． B． C．或 D．或
5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（）
A． B． C． D．
6．给出下列四个图象：
函数的大致图像可以是（）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
7．给定事件A，B，C，且，现有下列结论：①若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立；②若，则A，B，C两两独立；③若，则A，B相互独立；④若，则A，B互为对立事件．其中正确的结论有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．若，，，则（）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数在上单调递减，则实数a的值可能为（）
A． B． C．3 D．4
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（）
A．若动点M是内部一点（含边界，除点外），则对任意M，都有平面
B．若P，Q分别为，的中点，则平面BPQ截该正方体所得的截面周长为
C．若动点M满足，则的最小值是
D．若动点M在AC上，点N在上，则的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若随机事件A，B相互独立，，，则__________．
13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________．
14．已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．
（1）证明：平面PBF．
（2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
16．（本题满分15分）
已知函数，．
（1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值；
（2）若，求的极值．
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，，且E，F分别为PC，CD的中点．
（1）证明：．
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
18．（本题满分17分）
甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．
（1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求甲在每轮比赛中获胜的概率；
（3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
19．（本题满分17分）
已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
（1）已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
（2）证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
（3）已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
龙岩市一级校联盟2024－2025学年第二学期半期考联考
高二数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
D
B
C
D
C
D
BCD
ACD
BCD
12．0.58 13． 14．
11．【详解】对于选项A，当M运动到B点时，易知不垂直于，
所以不垂直于平面，故A错误．
对于选项B，如图，作直线PQ分别与