湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
时量：120分钟满分：150分命题单位：常德外国语学校
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知向量，，则“”的一个充分条件是
A．B．C．D．
3．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为
A．B．C．D．
4．已知，，则
A．B．C．D．
5．已知，则在复平面内所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．在的展开式中，的系数是
A．B．C．20D．40
7．在等差数列中，前项和为，若，则
A．18B．33C．36D．40
8．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含
碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随机事件满足，下列说法正确的是
A．B．事件与事件相互独立
C．D．
10．设函数，则下列选项正确的是
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
11．如图，在四面体中，，，，，，分
别为棱上的动点，则下列选项正确的是
A．的最小值为B．
C．直线与面所成角为D．四面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量服从正态分布，且，则.
13．已知函数，若，则的取值范围是.
14．已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线
在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率
为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
在中，分别是角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的值.
16．(本小题满分15分)
已知函数在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数在的最大值和最小值；
(3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围．
17．（本小题满分15分）
在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和公式.
18．(本小题满分17分)
在平面四边形中,，，，，
将沿AC翻折至，且满足.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
19．(本小题满分17分)
已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角
形，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点，
①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求的最大值.
沅澧共同体2025年上学期高二期中考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号12345678
答案BABCBDBC
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号91011
答案ABACDBCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．0.0413．14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1）由和正弦定理，可得……2分
……4分
，…………………5分
又……………………6分
（2）由余弦定理，，…………7分
，解得，…………………9分
由可得，代入上式可得，.………11分
解得：或（此时，不合题意，舍去）……………12分
所以…………………