云南省大理州2023?2024学年高二下学期普通高中教学质量监测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，则的虚部是（????）
A．1 B．-1 C． D．
2．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（????）
A．
B．
C．
D．
4．已知等差数列的前项和为，若，则（????）
A．34 B．39 C．42 D．45
5．若，则（????）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．已知菱形，将沿对折至，使，则三棱锥的外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数的导数为，若方程有解，则称函数是“T函数”，则下列函数中，不能称为“函数”的是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（????）
A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件
B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件
D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件
10．已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（????）
A．
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．在上单调递增
11．已知为坐标原点，曲线图象酷似一颗“红心”（如图）.对于曲线C，下列结论正确的是：（????）
??
A．曲线恰好经过6个整点（即横?纵坐标均为整数的点）
B．曲线上存在一点使得
C．曲线上存在一点使得
D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3
三、填空题（本大题共3小题）
12．某年级有男生490人，女生510人，为了解学生身高，按性别进行分层，并通过分层随机抽样的方法得到样本容量为100的样本数据，若抽样时在各层中按比例分配样本，并得到样本中男生?女生的平均身高分别为和，在这种情况下，可估计该年级全体学生的平均身高为.
13．设分别是椭圆的左?右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为.
14．对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推.现已知初始点为，若按上述过程操作，则，所得三角形的面积为.（用含有的代数式表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角的对边分别为.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
16．已知，分别是数列和的前项和，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
17．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点为线段上一点，.
??
(1)证明：；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，试求的值.
18．已知函数为函数的极值点.
(1)求实数的值，并求出的极值；
(2)若时，关于的方程有两个不相等实数根.
=1\*GB3①求实数的范围；
②求证.
19．已知定点，直线，动圆过点且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线C的方程；
(2)若为正数，圆与曲线只有一个交点，求正数的取值范围；
(3)在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆，点是曲线上一点，且，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】化简求出，根据虚部概念得解.
【详解】，则的虚部为1．
故选A.
2．【答案】D
【分析】求出两个集合，后求补集再求交集即可.
【详解】，．
令，解得．故，.
故选D．
3．【答案】D
【分析】先设点再根据斜率公式计算即可.
【详解】设，可得,x不为0，
所以.
故选D.
4．【答案】B
【分析】根据等差数列的前n项和即可求解.
【详解】由成等差数列，
则，即，故.
故选B.
5．【答案】B
【分析】根据同角基本关系式化简已知得的值，再利用二倍角公式求解.
【详解】根据题意，，
即，解得或（舍），
所以.
故选B.
6．【答案】B
【分析】首先求出，再将两边平方，结合数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，即，
即，所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选B.
7．【答案】C
【分析】证明为二面角的平面角，根据余弦定理可得，设球的半径为R，利用勾股定理从而可得外接球的半径，即可由表面积公式求解．
【详解】如图，取的中点，连接，
??
由题意，菱形，所以，
所以为二面角的平面角，
,,
故，所以