天津市河东区2024?2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知函数在处的导数为1，则等于（）
A．2 B．1 C． D．
2．学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．的展开式中系数最大的项是（）
A．第项 B．第n项
C．第项 D．第项
4．下列导数运算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则（）
A． B． C． D．
6．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到.用X表示候选人来自甲班的人数.则下列说法不正确的是（）
A．随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4
B．甲班恰有2名同学被选到的概率为
C．随机变量
D．随机变量X的期望为
7．为贯彻落实《健康中国行动(2019——2030年)》文件精神，某校组织学生参加大课间体育活动，共安排了5个项目，分别为跑步、体操、乒乓球、街舞、踢毽子，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“乒乓球”，则他还参加“踢毽子”项目的概率为（）
A． B．
C． D．
8．进行n次独立试验，每次试验成功的概率均为p，则第r次成功之前恰失败k次的概率为（）
A． B． C． D．
9．已知的展开式中x的系数为19，求的展开式中x2的系数的最小值为（）
A．81 B．
C．10 D．9
二、填空题（本大题共6小题）
10．若组合数，则.
11．在的展开式的中间一项是.
12．的展开式中的系数为(用数字作答).
13．已知，若，则．
14．如图，现要用红，橙，黄，绿，蓝5种不同的颜色对某市的6个行政区地图进行着色，要求有公共边的两个行政区不能用同一种颜色，则共有种不同的涂色方法.
??
15．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为．
??
三、解答题（本大题共5小题）
16．根据二项式定理完成下列各题：
(1)求的展开式；
(2)化简
17．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)求方程在区间上的解的个数.
18．已知函数（a为常数）.
(1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
19．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可知：，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为每名同学均有3个选择，且互不干扰，
所以选法的可能方式共有种.
故选A.
3．【答案】C
【详解】因为的展开式的通项为，
可知第项的系数为，即为第项的二项式系数，
根据二项式系数的性质可知：的最大值为，
所以系数最大的项为第项.
故选C.
4．【答案】D
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选D.
5．【答案】D
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为从12名候选人中选4名同学，且有4名候选人来自甲班，
可知随机变量X服从超几何分布，故C不正确；
所以X的所有取值为0，1，2，3，4，故A正确；
甲班恰有2名同学被选到的概率为，故B正确；
随机变量X的期望为，故D正确；
故选C.
7．【答案】B
【详解】设甲同学参加的“乒乓球”项目为事件，甲同学参加的“踢毽子”项目为事件，
则，
所以.
故选B.
8．【答案】B
【详解】因为第r次成功之前恰失败k次，
可知一共进行次，第r次成功，前次中成功次，
所以所求概率.
故选B.
9．【答案】A
【详解】的展开式通项为，
则展开式中x的系数为，即
展开式中的系数为，
且，根据二次函数的知识知，当或10时，上式有最小值，
所以当，或时，项的系数取得最小值81.
故选A.
10．【答案】8
【详解】因为，则，解得或，
又因为，所以.
11．【答案】20
【详解】由二项式展开式的性质可得展开式一共有7项，所以中间一项为第4项，
所以在的展开式的中间一项是.
12．【答案】
【详解