上海市格致中学2024?2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、填空题（本大题共12小题）
1．直线的倾斜角为．
2．椭圆的焦距是.
3．设事件是互斥事件，且，则.
4．若直线与互相垂直，则实数．
5．抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是.
6．已知，则=．
7．抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.
8．三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.
9．某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有人.
10．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．
11．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是.
12．已知实数，满足，则的取值范围是.
二、单选题（本大题共4小题）
13．设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为（????）
A． B． C． D．
14．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（????）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
15．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间(小时)
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（????）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
16．在平面直角坐标系中，已知椭圆和.为上的动
点，为上的动点，是的最大值.记在上，在上，且，则中元素个数为
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
三、解答题（本大题共4小题）
17．已知直线．
(1)若直线在轴上的截距为，求实数的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
18．在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A?B?C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）
纪念品A
纪念品B
纪念品C
精品型
100
150
n
普通型
300
450
600
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个.
(1)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x?y?10?11?9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值；
(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率.
19．已知点及圆：.
（1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
（2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程；
（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值.
20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
参考答案
1．【答案】
【详解】设直线的倾斜角为，，
将直线转化为斜截式，可知直线的斜率为，
所以，
所以，
所以直线的倾斜角为．
2．【答案】2
【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距
详解：∵椭圆
∴.
3．【答案】/0.5
【详解】事件是互斥事件，且，所以.
4．【答案】
【详解】由，即，
又直线与直线互相垂直，
故，
解得.
5．【答案】
【详解】根据题意可得：．
故答案为4
6．【答案】
【详解】令得，
令得，
所以.
7．【答案】
【详解】试题分析：因为抛物线的焦点为所以所以双曲线的渐近线方程为，其夹角为.
8．【答案】3
【详解】由双曲线的定义，
则.
9．【答案】2
【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训，
根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人人.
10．【答案】329
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百