陕西省安康市2024?2025学年高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设数列的前项积，则（）
A． B． C． D．
2．“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（）
??
A．8 B．9 C．10 D．15
3．某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）
A．在区间上单调递增 B．是的极大值点
C．当时， D．在区间上单调递减
5．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．已知函数在处取得极大值，则（）
A．0 B．12 C．16 D．96
7．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（????）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
8．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
10．设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（）
A．的实轴长为
B．
C．若，则直线的斜率为
D．若，则
11．已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（）
A．
B．
C．和均为等比数列
D．除以3的余数为1
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点处的切线方程为.
13．已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为.
14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为
四、解答题（本大题共5小题）
15．求二项展开式中的特定项或指定项的系数
(1)在的展开式中，求的系数．
(2)的展开式中，求的系数．
16．设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，.
(1)求的方程；
(2)记点.
（ⅰ）求点到直线距离的最大值；
（ⅱ）当时，求的面积.
17．已知正项数列的前项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.
19．记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点.
(1)若，求的广义反曲点；
(2)已知函数有三个广义反曲点：
（ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数；
（ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线.
参考答案
1．【答案】A
【详解】数列的前项积，即；
所以，当时，，符合上式，
当时，??，
由题意可得.
故选A.
2．【答案】B
【详解】由杨辉三角知：第1行：，，
第2行：，，，
第3行：，，，，
第4行：，，，，，
由此可得第行，第个数为，
所以第9行第9个数是.
故选B.
3．【答案】D
【详解】设最长步道为，由题意可得，则.
故选D.
4．【答案】C
【详解】
根据上面导函数图象，可知：在区间上大于零，所以在区间上单调递增，故A正确；
由图可知，且在左边附近是大于零，在右边附近是小于零，
即可判断在左边附近是单调递增，在右边附近是单调递减，
所以在时取到极大值，故B正确；
由图可知当时，，故C错误；
由图可判断时，，故在区间上单调递减，故D正确；
故选C.
5．【答案】C
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选C
6．【答案】A
【详解】因为，
由题意，所以或，
经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.
故选A.
7．【答案】C
【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可