山西大同某校2024?2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数在处的导数等于，则的值为（????）
A． B． C． D．
2．骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最小值为3”，事件“两次点数的最大值为6”，则（）
A． B． C． D．
3．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（????）
A． B． C． D．
4．在中，是的中点，，若，则的值分别为（）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的部分图象大致形状是（????）
A． B．
C． D．
6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（????）．
A． B． C．2 D．
7．展开式中的系数为（????）
A． B． C．30 D．90
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则当取得最小值时，的面积为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（???）
A． B．
C． D．
10．对任意实数，有.则下列结论正确的是（????）
A．
B．
C．
D．
11．已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在等比数列中，，，则．
13．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有.
14．函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有二项式系数的和；
(3)求展开式中所有的有理项．
16．如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
17．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
18．已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值．
19．设函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】由已知得
．
故选D．
2．【答案】C
【详解】事件表示两次点数的最小值为3，最大值为6，有，共2种情况，
事件包含，共7种情况，
所以.
故选C
3．【答案】C
【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，
故有，即，，
所以，所以.
所以的范围为.
故选C.
4．【答案】B
【详解】
如图，因为，所以点为线段的中点，则有,
因为是的中点，所以，
所以.
所以，.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当