山东省济南市莱芜第一中学2024?2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则在区间上的最大值为（????）
A． B． C． D．
2．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（????）
A． B． C． D．
3．若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）
??
A．?? B．??
C．?? D．??
5．已知函数，则（）
A．0 B． C．2025 D．4050
6．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
7．已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．若函数，且，则正实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列判断正确的是（????）
A．方程有两个根
B．函数有2个零点
C．当时，函数的图象总在函数图象的上方
D．函数的最大值为1
11．设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则（????）
??
A．点在上
B．将在轴上方的部分看作函数的图象，则1是的极小值点
C．在点处的切线与的另一个交点的横、纵坐标均为有理数
D．时，曲线上任意一点到坐标原点的距离均大于
三、填空题（本大题共3小题）
12．设函数在处的导数存在，且，则.
13．已知函数，则.
14．已知函数若关于a的方程恰有四个不同的解，则正数m的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处取得极值．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最小值．
16．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.
17．某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件元的价格，全部由总厂收购.
(1)求年利润关于年加工量的解析式；（年利润年销售收入-流动成本-年固定成本）
(2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据:）.
18．已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
19．已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若存在两个极值点．
（i）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以函数的导函数为，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，。函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为.
故选B.
2．【答案】B
【详解】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点，
而函数在上单调递增，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
4．【答案】A
【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增，
结合选项，只有A符合；
故选A.
5．【答案】B
【详解】因为，
则，
故.
故选B.
6．【答案】D
【详解】由，解得，
所以的定义域是，
依题意可知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由于，
所以的最大值为，
所以.
故选D.
7．【答案】C
【详解】，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，
又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立，
或，
又，，故，
，解得．
故选C
8．【答案】C
【详解】易知的定义域为，
由可得，即；
因为，所以，即，
构造函数，则，
可知函数在上单调递增，因此，
即，所以，
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
因此在处取得极小值，也是最小值，；
即可得，解得.
所以正实数的取值范围是.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】对于A:，令，得或，有“巧值点”，A满足；
对于B:，令，得，有“巧值点”，B满足；
对于C:，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”，C满足；
对于D:，令，得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足.
故答案为ABC.
10．【答案】ACD
【详解】A选项，，定义域为，
令，则，
令?′x0,得;令?′x0,
故?x在0,+∞上单调递增，在上单调递减，
其中，当时，?x0恒成立