江西省景德镇一中2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题（19班）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线与直线互相平行，则m为（）
A． B．-2 C．-2或2 D．2
2．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（????）
??
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
3．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（????）
A． B． C． D．
4．三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与的体积之比是（????）
A．6 B．8 C．12 D．24
5．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（????）
A． B．3 C． D．2
6．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．若函数的图象关于直线对称，则函数图象的一条对称轴为（????）
A． B． C． D．
8．已知，满足，则的最小值为（????）
A． B． C．1 D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知为复数，，则以下说法正确的有（????）
A．
B．
C．互为共轭复数
D．若，则的最大值为6
10．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（????）
A．的值可能是 B．的最小正周期可能是
C．在区间上单调递减 D．图象的对称轴可能是
A．若是锐角三角形，则不等式恒成立
B．若，则
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
12．如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（????）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则.
14．已知点和直线，则点到直线的距离最大值为．
15．已知，且，，则．
16．如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为.
??
四、解答题（本大题共6小题）
17．如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
??
(1)若，若，，求的值.
(2)若，，是线段上任意一点，求最大值.
18．已知直线与直线．
(1)若，求的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；
(3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程．
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值.
(3)在中，若，求的取值范围.
20．如图，在四面体中，，分别是的中点.
(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.
21．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
22．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.
??
(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为直线与直线互相平行，
所以，解得或，
又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去.
所以，.
故选D.
2．【答案】A
【详解】由图形知，在原中，，如图，
??
因为，所以，
，，
又，.
为等边三角形.
故选A.
3．【答案】A
【分析】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.
【详解】取中点，连接，
直三棱柱中且，则为平行四边形，
所以，故直线与所成角即为，
令，又，则且，则，
又因为，故，又因为，
所以.
即直线与所成的角为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】设的面积为，设的面积为，
则，，又，
，
∴??，
过点作平面，过点作平面，如图，
则，∴与相似，
又，∴，
∵??，，
∴，
∴三棱锥与的体积之比是24.
故选D.
5．【答案】C
【详解】
??
因为，
所以，即，
取中点为点，
则，即，
所以在中线上，且
过，分别作边上的高，垂足为，
则，
所以，，
所以，
所以，
故