江苏省宿迁市沭阳县2024?2025学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则正整数m的值为（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知点，若向量，则点的坐标是（????）
A． B． C． D．
3．在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（????）
A． B．
C． D．
4．（????）
A． B． C． D．
5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（????）
A．2 B． C． D．
6．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（????）
A． B． C． D．
7．学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（????）
A．36 B．24 C．18 D．12
8．若正整数，满足等式，且，则的值为（????）
A．1 B．2 C．2023 D．2024
二、多选题（本大题共3小题）
9．若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（????）
A． B．
C． D．
10．用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（????）
A．共可组成360个四位数
B．四位偶数有156个
C．能被25整除的四位数有21个
D．从小到大排列第89个数为2340
11．已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（????）
A．平面α的一个法向量为
B．直线l经过点
C．直线l的一个方向向量为
D．直线l与平面α所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为.
13．的展开式中的系数为（用数字作答）.
14．设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为.（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)求；
(2)当时，求实数k的值.
16．高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动.
(1)共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
(2)若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
(3)若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答）
17．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.
??
(1)用，，表示；
(2)若为棱的中点，求；
(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
18．已知.
(1)若，求：
①的值，
②的值；
(2)若，求的最小值.
19．如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，.
??
(1)证明：；
(2)若，动点在矩形内（含边界），且.
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成角为，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，得.
故选C.
2．【答案】A
【详解】设，因为，且，
则，所以，即.
故选A.
3．【答案】D
【详解】
.
故选D.
4．【答案】B
【详解】，
故选B.
5．【答案】B
【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为，
因为为单位向量，，，
所以，
所以，
故选B.
6．【答案】A
【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
故选A.
7．【答案】B
【详解】若甲地去一组，从B，C，D选一组，剩下3组分成2组去两地即可，
则有，
若甲地去两组，从B，C，D选两组，剩下2组分成2组去两地即可，
则有，
故共有种，
故选B.
8．【答案】D
【详解】∵
，
∴.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底；
对于B：设，所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确；
对于D：设，则，
所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由能被整除的数后两位为，则，故C正确；
对于D，最高位为的四位数有，前两位为的四位数有，
前两位为的四位数有，前三位为的四位数有，
由，且，，则从小到大排列第个数为，故D错误.
故选B