2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)
暨2024年全国高中数学联合竞赛
一试(A卷)参考答案及评分准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各
题的评阅，请格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，
第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1.若实数〃，1满足log9(log8m)=2024,则log3(log2/〃)的值为.
答案：4049.
解：log5(log2m)=log?(3logm)=1+2logjlog”)=1+2x2024=4049?
2.设无穷等比数列0,｝的公比g满足0v|g|vl.若0｝的各项和等于0｝各
项的平方和，则/的取值范围是__________.
答案：—：,o|u(O,2).
解：因为数列｛%｝的各项和为注意到｛%｝各项的平方依次构成首项
I
为德、公比为g的等比数列，于是｛片｝的各项和为工?
由条件知土=圣^，化简得角=1+八
1q\-q
1V11
当0E(—1,O)U(O,1)时，久=(l+q)g=0+二一二€—二,0U(0,2).
2J4［4J
3.设实数满足：集合A=｛xeR\x2-\0x+a0｝与8=｛x￡R|版//｝
的交集为［4,9］，则a+b的值为?
答案：7.
解：由于x210x+a=(.r5)22567,故X是一个包含［4,9］且以x=5
为中点的闭区间，而3是至多有一个端点的区间，所以必有N=［l,9］,故〃=9.
进一步可知8只能为［4,+oo),故bvO且4b=b,得方=一2?
于是】+5=7?
4.在三棱锥P—ABC中，若底面ABC,且棱AB、BP,BC,CP的氏分
别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为?
答案：；?
4
解：由条件知PA±AB,PAAC.
因此PA—VBP2—AB2—，进而AC—』CP—PA~=Vl3?
在ABC中，c=履+奸_=l±Wn=_］,故祢=旦
1ABBC2x1x322
所以S*时=；/8BC?sinB=￥?
I3
又该三棱锥的高为R4,故其体积为y=~S^PA=^.
5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地
先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a,b.若事件“。+/=7”发生的概率
为上，则事件ci=b发生的概率为?
7
答案:号.
解：设掷出1,2,…,6点的概率分别为p),p”…，外.山于Pi’Pv…,P6成等差
数列，且P|+P2+???+#6=l，故Pl+R=P2+P5=P3+P4=?
事件a+b=7”发生的概率为R=PR+P2P5+??+PM?
事件“a=b发生的概率为R=P；+p；+???+p；?
于是6+4=（P|+P6），+（P2+Ps）2+（P