湖南省长沙市第一中年高三下学期月考（七）数学试题
（考试时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每题4分，共20分）
1.函数$f(x)=x^22x+1$的最小值是（）。
2.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_3=7$且$a_7=19$，则该数列的公差是（）。
3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于原点的对称点是（）。
4.若圆$x^2+y^2=16$上的点到直线$3x4y+12=0$的最短距离为$2\sqrt{2}$，则圆心到该直线的距离是（）。
5.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$且$\alpha$在第二象限，则$\cos\alpha$的值为（）。
6.已知复数$z=1+i$，则$|z|$的值为（）。
7.若$\log_28=3$，则$\log_232$的值为（）。
二、填空题（每题4分，共20分）
1.函数$f(x)=x^33x$在区间$[1,1]$上的最大值是______。
2.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$且$a_5=11$，则该数列的通项公式是______。
3.在直角坐标系中，点$P(2,1)$关于直线$y=x$的对称点是______。
4.已知圆$(x1)^2+(y+2)^2=9$，则该圆的半径是______。
5.已知$\tan\theta=\sqrt{3}$且$\theta$在第三象限，则$\sin\theta$的值为______。
三、解答题（每题10分，共30分）
1.解不等式$\frac{x}{2}32x+1$。
2.求函数$f(x)=2x^24x+1$在区间$[0,2]$上的最大值。
3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=5$且$a_5=15$，求该数列的前10项和。
四、证明题（每题10分，共20分）
1.证明：对于任意实数$x$，都有$x^2+1\geq2x$。
2.证明：若$a,b,c$是等差数列中的任意三项，则$a+c=2b$。
五、综合题（每题10分，共30分）
1.已知函数$f(x)=x^33x^2+2x$，求该函数的极值。
2.已知圆$(x1)^2+(y+2)^2=9$和直线$y=2x1$，求圆上的点到直线的最短距离。
3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$且$a_3=8$，求该数列的前20项和。
解析
一、选择题
1.函数$f(x)=x^22x+1$的最小值可以通过求导数找到极值点，然后代入原函数计算。极值点为$x=1$，代入得最小值为$0$。
2.等差数列的公差$d=\frac{a_7a_3}{73}=\frac{197}{4}=3$。
3.点$A(2,3)$关于原点的对称点是$(2,3)$。
4.圆心到直线的距离公式为$\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入得$\frac{|3\cdot04\cdot0+12|}{\sqrt{3^2+(4)^2}}=2\sqrt{2}$。
5.在第二象限，$\cos\alpha=\sqrt{1\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
6.$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
7.$\log_232=\log_22^5=5$。
二、填空题
1.函数$f(x)=x^33x$在区间$[1,1]$上的最大值可以通过求导数找到极值点，然后代入原函数计算。极值点为$x=1$和$x=1$，代入得最大值为$2$。
2.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n1)d=3+2(n1)=2n+1$。
3.点$P(2,1)$关于直线$y=x$的对称点是$(1,2)$。
4.圆的半径为$\sqrt{9}=3$。
5.在第三象限，$\s