云南省保山市实验中学2023?2024学年高二下学期月考测评（八）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．甲?乙?丙三名高一学生都已选择物理?化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治?历史?地理?生物中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（????）
A． B． C． D．
2．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（????）
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
附:，
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
A．没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
3．某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（????）
A．4400 B．4500 C．4600 D．4900
4．已知等比数列的前项积为，公比，则取最大值时的值为（????）
A．3 B．6 C．4或5 D．5或6
5．已知分别是平面的法向量，若，则（????）
A． B． C．7 D．1
6．已知随机变量的分布列如表：
0
2
其中成等差数列，则的值是（????）
A． B． C． D．
7．已知，则（????）
A． B．28 C．14 D．
8．设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（????）
A．4 B． C． D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．某学校一名同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据：
5
6
8
9
12
17
20
25
28
35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列说法正确的有（????）
（参考公式：相关系数公式）
A．样本中心点为
B．
C．当时，残差为
D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大
10．已知直线和圆，则下列选项正确的是（????）
A．直线恒过点
B．圆与圆有三条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对关于直线对称的点
11．下列结论正确的是（????）
A．若随机变量Y的方差，则
B．已知随机变量X服从二项分布，若，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．若事件A与B相互独立，且，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若随机变量，则.
13．为了解某社区居民的2023年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
9.7
根据上表可得回归直线方程，则.
14．已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学生，经统计，抽查数据如下表：
性别
锻炼
合计
经常
不经常
男生
60
40
100
女生
80
20
100
合计
140
60
200
(1)依据小概率值的独立性检验，分析性别与体育锻炼的经常性是否有关？
(2)为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记男生担任宣传组长的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
附：.（其中，为样本容量）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
16．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点.
(1)证明：三点共线；
(2)若，求直线的方程.
18．一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)对于事件，当时，证明：；
(3)利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率.
19．已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，，证明不等式；
(3)当时，求函数的单调区间.
参考答案
1．【答案】D
【分析】三人独自从政治?历史?地理?生物中任选一科，则每人有4种选法，进而即得.
【详解】根据题意，甲?乙?丙三名高一