四川省成都市玉林中学2024?2025学年高二下学期期4月诊断性评价数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则（）
A．0 B． C． D．
2．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）
A．2 B．1 C．0 D．
3．已知等比数列中，，则的值为（）
A． B． C． D．
4．已知函数，且是的极小值点，则下列结论错误的是（）
A． B．
C． D．
5．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（）
A．18 B．24 C．30 D．36
6．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（????）
A． B． C． D．
7．是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（）
A． B．
C． D．
8．设，则的大小关系是（）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（）
A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为
C．的最大值为5 D．存在点，使得
10．设等差数列的前n项和为，若，则（）
A．
B．
C．最大时，
D．的整数的最大值为
11．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．有相同的最大值
B．若对任意的，都有成立，则的最小值为
C．若时，则
D．若直线与函数与恰有三个交点，则成等比数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数的减区间为，则的值为.
13．用1，2，3，4，5这5个数字可以组成个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有个（用数字作答）．
14．已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的夹角的大小．
16．已知是等差数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
17．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切．
(1)求椭圆及圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于两点．
（i）证明：直线与圆相切；
（ii）求面积的取值范围．
19．已知函数．
(1)若函数在处的切线为轴，求实数的值；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知函数有两个极值点，求证：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，得，
故选B.
2．【答案】C
【详解】由点在切线上，可得：，
由切线斜率可知：，
所以，
故选C.
3．【答案】C
【详解】由等比数列性质可知：，
又，
所以，
故选C.
4．【答案】B
【详解】因为函数，所以，
所以单调递增；单调递减；单调递增；
所以是的极小值点，，是的极大值点，B选项错误，D选项正确；C选项正确；
，A选项正确.
故选B.
5．【答案】D
【详解】由题意从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
所以选出的2人中至少有一名男生方法数为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】斗升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为
故选D
7．【答案】C
【详解】是定义在上的偶函数，
当时，令，则，所以在上单调递减，
当时，，即，
当时，，即，
即当时，的解集为，
因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知：
当时，的解集为，
所以不等式的解集为.
故选C.
8．【答案】A
【详解】令，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
，
因为，所以，
故选A.
9．【答案】BD
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，椭圆的长轴长为6，A错误；
对于B，椭圆的离心率为，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，以线段为直径的圆与椭圆有交