陕西省西安市第八十三中学2024?2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的极大值点是（）
A． B．1 C． D．
2．设函数，则曲线在处的切线方程为（????）
A． B．
C． D．
3．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为（????）
A．36个 B．56个 C．64个 D．84个
4．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
5．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（????）
A． B． C．0 D．
6．已知函数有2个实数解，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（????）
A．2 B． C． D．
8．已知函数，，若，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（????）
A．为奇函数
B．的单调递增区间为
C．的极小值为
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（???）
A． B．
C． D．
11．已知，则下列说法正确的有（????）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．若，则 D．轴为曲线的切线
三、填空题（本大题共4小题）
12．函数的单调递减区间为．
13．乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有.（用数字作答）
14．在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为.
15．已知函数，则的最小值是．
四、解答题（本大题共5小题）
16．已知函数在处取得极大值为9.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
17．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
19．在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
20．已知函数，其中．
(1)若函数的最小值为，求a的值；
(2)若存在，且，使得，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题设，当时，当或时，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值点是1.
故选B.
2．【答案】D
【详解】由题意得，
于是当时，曲线在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即.
故选D.
3．【答案】C
【详解】根据题意，分种情况讨论：
①位“回文数”中数字全部相同，有种情况，即此时有个位“回文数”；
②位“回文数”中有个不同的数字，有种情况，即此时有个位“回文数”；
则一共有个位“回文数”；
故选C．
4．【答案】D
【详解】由，解得，
所以的定义域是，
依题意可知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由于，
所以的最大值为，
所以.
故选D.
5．【答案】D
【详解】由，即，即，
所以是常数，
当时，，所以，
当时，，得.
故选D
6．【答案】B
【详解】由题意，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，可得，
当
所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点，
结合图象可得实数的取值范围.
故选B.
7．【答案】C
【详解】设，，
因为，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即，
函数的图象在点处的切线方程为，即，
因为直线是两函数图象