山东省五莲县第一中学2024?2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数，则导函数（）
A． B． C． D．
2．已知等差数列满足：，则的公差为（）
A．1 B．2 C． D．
3．已知数列满足，，，设其前项和为，则（????）
A．2400 B．2500 C．2600 D．2700
4．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（????）
A． B．
C． D．
6．在数列中，，对任意，则（????）
A． B． C． D．
7．当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前项和
10．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（????）
A． B．
C． D．
11．已知函数，以下命题正确的是（）
A．若函数不存在极值，则实数b的取值范围是
B．方程的所有实根的和为8
C．过点且与曲线相切的直线有三条
D．方程，则的极大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的前n项和为，且，则．
13．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕万千克.
14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知正项数列满足，且（）.
(1)求的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由.
16．已知函数（且）.
(1)当时，求的极小值点与极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，（），且，证明：.
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
18．已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
19．已知函数.
(1)设过点且与曲线过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点??处的法线.若曲线在点处的法线与直线平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，则.
故选C.
2．【答案】D
【详解】解：设等差数列的公差为，
由，
可知当时，则有，
当时，则有，
解得，
所以，
解得.
故选D.
3．【答案】B
【详解】，
当是奇数时，即，
，
当是偶数时，即，
偶数项是首相为，公差为的等差数列，
99项中有50个奇数项49个偶数项，
.
故选B.
4．【答案】D
【详解】对于A，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故A错误；
对于B，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故B错误；
对于C，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故C错误；
对于D，由，得，则，
因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选D.
5．【答案】B
【详解】根据题意可令，
所以在上单调递增，则原不等式等价于，
由，解之得．
故选B．
6．【答案】B
【详解】在数列中，任意，取，得，
即，则，数列为常数列，
因此，即，则，
所以
.
故选B.
7．【答案】D
【详解】由得，
即，
令，则，
所以在上单调递增，
由，
可得，，即在时恒成立，
令，则，令得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，所以.
故选D.
8．【答案】B
【详解】已知，其定义域为，对求导，可得：
令，即，则，解得．
当或时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，也是最小值，．
令，则．
函数恰有个不同的零点，即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，且其中一个根为，另一个根．则，解得.
实数的取值范围是．
故选B．
9．【答案】BCD
【详解】对于A