山东省济南第一中学2024?2025学年高二下学期期中学情检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，若，则（????）
A． B． C．1 D．2
2．将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（????）
A． B． C． D．
3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（）
A． B．
C． D．
4．函数在区间上的最大值是（????）
A．－9 B．－16 C．16 D．9
5．甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响．则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（????）
A． B． C． D．
6．设是函数的导函数，若，则（）
A． B． C． D．
7．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第5个数为该行中的最大值，则的值为（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（????）
A．二项式系数和为512 B．不存在常数项
C．含项的系数为45 D．第6项的系数最大
10．已知函数，则（????）
A．在处的切线与直线平行
B．是上的增函数
C．为的极值点
D．最小值为
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（????）
A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法
B．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案
C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案
D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则.
13．在的展开式中的系数是．（用数字作答）
14．已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求展开式中含的项；
（2）设，求的值.
16．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当时，．
17．在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
(1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；
(2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
19．已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球．
(1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率；
(2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球．
①求；
②证明：．
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
，
，
，，
故选D．
2．【答案】C
【详解】解：根据分步原理的应用，
所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，
故一共有种投法．
故选．
3．【答案】A
【详解】由原函数图象可得，
当时，原函数单调递增，导函数恒为正值；
当时，函数在上是先减后增再减，其导数值的符号为负、正、负；
结合选项可得，只有A选项满足.
故选A．
4．【答案】C
【详解