江西省宜春市宜春中学、高安二中2024?2025学年高二下学期4月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知是等比数列，，则公比等于（????）
A． B． C． D．
2．若，则（????）
A． B． C． D．
3．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（????）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
4．某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表：
工作时间
2
4
5
6
8
工资
30
40
50
70
若对的线性回归方程为，则的值为（????）
A．56.5 B．58 C．60 D．62.5
5．在等差数列中，前项之和为，最后项之和为，前项之和是，则项数为（????）
A． B． C． D．
6．五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（????）
A．240种 B．192种 C．144种 D．48种
7．设是等比数列的前项和，若，，则（????）
A． B． C． D．
8．如图，已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，若构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为（????）
??
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（????）
A．椭圆的焦点坐标为
B．当时，椭圆的离心率为
C．当时，的周长为
D．若椭圆的离心率为，则的面积的最大值是
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（????）
A．若，则；
B．若数列是等差数列且，则当时，取得最大值；
C．若数列是等比数列，则成等比数列；
D．若数列是等差数列，则.
11．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（????）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形
B．三棱锥的体积最大值为
C．当时，异面直线与夹角的余弦值为
D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的常数项是10，则.
13．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为
14．已知数列的前项和为则.
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数的导数.
(1)
(2)
(3)
16．如图，有直三棱柱.
(1)证明：；
(2)求二面角平面角的正弦值.
17．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，
（i）求边上的中线所在方程；
（ii）直线的斜率之积为，直线的方程.
18．已知数列的前项和为，数列满足且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
(3)令，求数列的前项和.
19．在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数
?????
图一??????????????????????????图二
(1)当时，求
(2)当时，找出的关系，并求出的通项公式.
(3)用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由等比数列的性质可知，，得.
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为，
所以，又，
所以，
故选A.
3．【答案】D
【详解】由题意，，所以.
故选D.
4．【答案】C
【详解】由表格数据知：，，
由线性回归方程为，
，解得.
故选C.
5．【答案】B
【详解】记数列的前项和为，
因为，
上述两个等式相加可得，
由等差数列的性质可得，可得，
由等差数列的求和公式可得，解得.
故选B.
6．【答案】B
【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解.
【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；
第二步：相邻女生排在一起有种；
第三步：4名男生排在剩下的位置有种.
因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法.
故选：B.
7．【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
则，，
，，
所以.
故选D.
8．【答案】B
【详解】由椭圆的定义，，，
，即，
，解得，
，
设椭圆的半焦距为，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
，即，
解得，即，
所以椭