考点规范练29等比数列及其前n项和
基础巩固组
1.(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(
A.32f B.322f C
答案D
解析设第n个单音的频率为an,由题意,anan-1=122(n≥2),所以{an}为等比数列,因为a1=f,所以a8=a1×(
2.已知{an}是等比数列,则“a2a4”是“{an}是单调递增数列”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案B
解析在等比数列1,2,4,8,…中,满足a2a4,但{an}是单调递增数列不成立,即充分性不成立,
若{an}是单调递增数列,则必有a2a4,即必要性成立,
则“a2a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件.
故选B.
3.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()
A.420只 B.520只 C.520-5
答案B
解析由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{an},则a1=1+4=5,a2=5×4+5=25,…,an=5an1,故数列{an}为等比数列,首项a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a20=5×519=520只蜜蜂.
4.设实数列{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,且a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确的是()
A.a2b2 B.a3b3 C.a5b5 D.a6b6
答案A
解析∵a1=4,a4=1,∴d=1.∵b1=4,b4=1,
又0q1,∴q=2-23,b2=243a2=3,b3223a3=2,b5=2-23a5=
5.数列{an}满足an+1=λan1(n∈N*,λ∈R,且λ≠0),若数列{an1}是等比数列,则λ的值等于()
A.1 B.1 C.12 D
答案D
解析由an+1=λan1,得an+11=λan2=λ
由{an1}是等比数列,所以2λ=1,得λ=2
6.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a1,S2,5成等差数列,则数列{an}的公比q=.?
答案2
解析由题意得2S2=a1+5,即2(1+q)=1+5,q=2.
7.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=21,a5=2+1,则a32+2a2a6+a3a7=
答案8
解析由等比数列性质,得a3a7=a52,a2a6=a3a
所以a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(21+2+1)2=(2
8.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2(2an+11)an2an+1=0,则a3=,an=
答案1
解析由题意得a2=12,a3=
(等比数列的定义、通项公式)由an2(2an+11)an2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.
能力提升组
9.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(
A.16(14n) B.16(12n)
C.323(14n) D.323
答案C
解析由a5=14=a2·q3=2·q3,解得q=12,可知数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是a1a2=
所以a1a2+a2a3+…+anan+1=81-14n
10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,则数列{bn}的前15项和为()
A.152 B.135 C.80 D.16
答案B
解析由题设可得a2+a4=S4(a1+a3)=90,即q(a1+a3)=90?q=3,所以a1=301+9=3,则an=3·3n1=3n.所以bn=1+log3(3n)=1+n,则数列{bn}是首项为b1=2,公差为d=1的等差数列.所以S15=2×15+15×14
11.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n,则S2015=()
A.220151 B.210093
C.3×210073 D.210083
答案B
解析∵a1=1,an+1·an=2n,∴an≠0,a2=2,
当n≥2时,an·an1=2n1.
∴an+1an
∴数列{an}中奇数项,偶数项分别成等比数