导数在研究函数中的应用(二)
[方法梳理]
1．分离参数法
分离参数法是求参数的最值范围的一种方法．通过分离参数，用函数的观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围．这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到．解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题．
2．构造函数法
构造函数法作为一种数学思维方法，在解决某些数学问题时，若能充分挖掘题目中潜在的信息，构造与之相关的函数，将陌生问题转化为熟悉问题，可使问题顺利解决．
3．等价转化法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题．历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．
4．分类讨论思想方法
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置．
5．任意性与存在性
①?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，使f1(x1)f2(x2)?[f1(x1)]min[f2(x2)]max.
②?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，使f1(x1)f2(x2)?[f1(x1)]max[f2(x2)]min.
③?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，使f1(x1)f2(x2)?[f1(x1)]min[f2(x2)]min.
④?x1∈[a，b]，?x2∈[c，d]，使f1(x1)f2(x2)?[f1(x)]max[f2(x)]max.
⑤?x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，使f1(x1)＝f2(x2)?f1(x)的值域与f2(x)的值域交集不为?.
[诊断自测]
1．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)f′(x)成立，则()
A．3f(ln2)2
B．3f(ln2)＝2
C．3f(ln2)2
D．3f(ln2)与2f
答案A
解析构造函数g(x)＝eq\f(f?x?,ex)，则
g′(x)＝eq\f(f′?x?ex－f?x??ex?′,?ex?2)＝eq\f(f′?x?－f?x?,ex)0，
即g(x)在R上是减函数，
所以g(ln2)g(ln3)，即eq\f(f?ln2?,eln2)eq\f(f?ln3?,eln3)，
即eq\f(f?ln2?,2)eq\f(f?ln3?,3)，
所以3f(ln2)2f(ln3)
2．(2018·广州五校联考)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x0时，有eq\f(xf′?x?－f?x?,x2)0恒成立，则不等式x2f(x)0的解集是()
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案D
解析∵当x0时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,x)))′0，
∴φ(x)＝eq\f(f?x?,x)为减函数，
又φ(2)＝0，∴当且仅当0x2时，φ(x)0，
此时x2f(x
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)
故x2f(x)0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)
3．已知f(x)＝eq\f(2x2＋ax－2a,2x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________．
答案a≥－1
解析∵f(x)＝x－eq\f(a,x)＋eq\f(a,2)，∴f′(x)＝1＋eq\f(a,x2).
又f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f′(x)≥0，于是可得不等式a≥－x2对于x≥1恒成立．∴a≥(－x2)max.
由x≥1，得－x2≤－1.∴a≥－1.
4．(2017·河南期末)函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围为________．
答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))
解析对于函数y＝x3－2ax＋a，求导可得y′＝3x2－2a
∵函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，
∴y′＝3x2－2a＝0，则其有一根在(0,1)内，当a0时，