第四节导数与函数的综合问题
A组基础题组
1.若0x1x21,则()
A.ex2-ex1lnx2-lnx1 B.ex2
C.x2ex1x1ex2 D.x2
2.(2017河北石家庄模拟)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当aln3e,且x0时,exx32
3.(2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
B组提升题组
1.函数f(x)=13x3+ax2
(1)求a,b的值并写出f(x)的单调区间;
(2)函数y=f(x)有三个零点,求c的取值范围.
2.(2018湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=lnx-ax,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若不等式f(x)+a0在x∈(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
答案精解精析
A组基础题组
1.C令f(x)=exx,则f(x)=xex-ex
∴f(x2)f(x1),即ex2x2ex1x
2.解析(1)由f(x)=ex-3x+3a知,f(x)=ex-3.
令f(x)=0,得x=ln3,
于是当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln3)
ln3
(ln3,+∞)
f(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln3),
单调递增区间是(ln3,+∞),
f(x)在x=ln3处取得极小值,极小值为f(ln3)=eln3
(2)证明:待证不等式等价于ex-32x2
设g(x)=ex-32x2
则g(x)=ex-3x+3a,x0.
由(1)及aln3e
∴g(x)在(0,+∞)上为增函数,
∵g(0)=0,∴当x0时,g(x)0,
即ex-32x2+3ax-10,即exx32
3.解析(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.
令f(x)=0,得x=-1-2或x=-1+2.
当x∈(-∞,-1-2)时,f(x)0;
当x∈(-1-2,-1+2)时,f(x)0;
当x∈(-1+2,+∞)时,f(x)0.
所以f(x)在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)上单调递减,
在(-1-2,-1+2)上单调递增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
当a≥1时,设h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0(x0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,而h(0)=1,
故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.
当0a1时,设函数g(x)=ex-x-1,g(x)=ex-10(x0),
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.
当0x1时,f(x)(1-x)(1+x)2,
(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),
取x0=5-
则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.
当a≤0时,取x0=5-
则x0∈(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
B组提升题组
1.解析(1)因为f(x)=13x3+ax2+bx+c,
所以f(x)=x2+2ax+b.
由题图知f(x)=0的两个根为-1,2,
所以1-2
由导函数的图象可知,当-1x2时,f(x)0,函数单调递减,
当x-1或x2时,f(x)0,函数单调递增,
故函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.
(2)由(1)得f(x)=13x3-12x
函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增函数,在(-1,2)上是减函数,
所以函数f(x)的极大值为f(-1)=76
极小值为f(2)=c-103
而函数f(x)恰有三个零点,故必有76+c0,c-
所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是-7
2.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=1x-a.
①当a≤0时,f(x)0恒成立,则f(x)只有单调递增区间(0,+∞).
②当a0时,由f(x)0,得0x1a;由f(x)0,得x1a,所以f(x)的单调递增区间是0,
(2)f(x)+a0在x∈(1,+∞)上恒成立,即lnx-a(x-1)0在x∈(1,+∞)上恒成立.
设g(x)=lnx-a(x-1),x0,则g(