1/42
例7·(1)(06年)
解：(1)
(05年)
(2)
例20.证明：方程xe=2在区间0,1)上至少有一个实根，
知识点：零点定理
设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(@)f(b)0,(即f(x)在区间端点处函数值的符号相反),则至少存在一个点c∈(a,b)使得f(e)=0.
解：将方程根的范围问题转化为函数的零点问题。
该方程等价于xe*-2=0.令函数f(x)=re?-2,
则函数f(x)在闭区间[0,1]上连续(初等函数的连续性),
厂(0)=-20,f(1)=e-2=0.718…0.
由闭区间上连续函数的零点定理可知，
存在*∈(0,1使得f(x?)=0,即×e-2=0。
这说明xo是方程xe?=2的根.
注：方程根的范围问题一般都化为求函数的零点问题来解决.
2/42
例19、函
例19、函的间断点的个数为【】
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
知识点：判断初等函数的间断点
如果f(x)在点x,不连续，则称x,是f(x)的间断点.
●若下列三种情况之一成立，则x,是f)的间断点：
i.f(x,)无定义(x?是无定义的孤立点)
不存在
ii.f(x?)有定义，在，但
●若f(x)是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点.
●若f(x)是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点，
解答将函数的分母做因式分解，则有.分母的零点就是函数的间断点.可以看到分母的零点为x=1,2,应选择C.
注：对函数分母做因式分解是判断函数间断点的常用方法.
ao=1,a?=2/3
3/42
G0f(x)dx收敛
G0
f(x)dx收敛
J0
求
.可得收敛域内.解得
,利用Cauchy乘积并比较系数得到，当n≥1时，
三F+Gn+H.
接下来说明nGn,nH,有界，
答案是可以了。
4/42
则由分部积分法得到
其中上式涉及分部积分公式的推广，它可用光滑逼近证明，参见《微积分进阶》第四章，推论4.3.1:
函数，ξ,n∈[ao,bo].对于x∈[to,bo],记.则对任何a,be[ao,bo],
最后得到
这里用到了LHospital法则以及无穷积分的收敛性：
5/42
∵拉氏变换
6/42
问题：设f(u)在u=0可导，f(0)=0.Ω:x2+y2+z2≤2t2,求
解：作变量代换：
则当t0时，
θ∈[0,2π,p∈[0π,r≥0.
对于tE(0,1),我们有
其中满足所以
7/42
,
,证明级发散。
当
当
时成立
所以
所以收敛.
8/42
设函数
设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导，且f|(x|≤1,又f2(0)+[(o2=4,
试证：在(-2,2)内至少存在一点ζ,使f(S)+f(ξ)=0
找两点.(-250)
|f()≤1=同理|f(?)≤1.令g(u)=f2(x)+(x)2,则gS)≤2.g(S?)≤2.g(x)∈q4-2],g{0)=4,
由最值定理，可知3S∈(G-2),g)=f2(+Lf(S2=gy≥4(*)
g(x)在(G,S2)上可导→g=2f(4-f(4+2f(4-f4=2f(A(fA+f(x))=0()若(=则由(*)式可知f≥2与题设|f0|≤1矛盾，故f(g)≠0(***)由(m和C**)可知，3S∈(G,s2)c(-2,2),使f(0+f(x)=0^0^
)设βα0,则
:令D={dck=1.[2x={[ex2a
代入m可得：
9/42
10/42
下面通过计算给出单摆周期：同椭圆周长处理，展为taylor级数：…则
下面通过计算给出单摆周期：
同椭圆周长处理，展为taylor级数：
11/42
前面计算椭圆周长己经得出：
1.设g(x)为fCx)反函数，且f(1)-0,,则①d的值为多少??
2.敛散性
解：,然后书上(黄庆怀辅导教材)的解释是：一般情况下比值等于1
无法判断收敛性，但本例可以断定原级数发散，理由是是单调增趋于e,即他们的比值
是递减趋于1的即a,单调增且a,0,故发散。如果该方法可用的话，那么:
(该级数是发散的),但用上题的思路是：该比值是增趋于1,
,即收敛。两个题目区别在哪里??上面的方法可用的条件是什