极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)
近3年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国乙卷卷，第22题，
调和线束平行截取中点
证明中点问定点
2022年新高考Ⅰ卷,第21题
调和线束平行截取中点
已知中点与平行求定点
2020年全国I卷,第22题
自极三角形问题
证明直线过定点
题型解读
【题型1】极点极线
【题型2】调和点列模型
【题型3】自极三点形与a2模型
【题型4】斜率成等差模型
【题型5】调和线束，平行截中点
高考真题再现
题目1(2023年全国乙卷)已知椭圆C:y2a
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
【答案1y
【高观点简析】记B(-2,3),点B的极线y3-
1
【详解】(1)由题意可得解得所以椭圆方程为y29
(2)由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=k(x+2)+3,P(x?,y?),Q(x?,y?),
联立方程{y=k
则Δ=
可得x
因为A(-2,0),则直线A
令x=0,解得y=2y
同理可得N02y
=
=3
题目2(2020全国高考Ⅰ卷20)已知A、B分别为椭圆.E:x2a2+y
(1)求E的方程;x
(2)证明：直线CD过定点.3
【高观点】延长CB,AD交于点Q,AB∩CD=E,则△EPG为自极三角形,故x=6为E点的极线,则E为3
2
【详解】(1)依据题意作出如下图象：
由椭圆方程E:
∴
∴
∴椭圆方程为：x
(2)[方法一]：设而求点法
证明:设P(6,y?),
则直线AP的方程为：y=y0
联立直线AP的方程与椭圆方程可得：{x
y02+
将x=-3y02+
所以点C的坐标为-3
同理可得：点D的坐标为3
当y0
∴直线CD的方程为y
3
整理可得：y
整理得：y
所以直线CD过定点3
当y02=3时，直线CD:
故直线CD过定点(32
[方法二]【最优解】：数形结合二次曲线系方程
设P(6,t),则直线PA的方程为y=
同理,可求直线PB的方程为tx-3y-3t=0.
则经过直线PA和直线PB的方程可写为(tx-9y+3t)(tx-3y-3t)=0.
可化为t2
易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有x2-9
故y27-
其中y=0表示直线AB，则(27
令y=0,得x=32
题目3(2022·全国乙卷高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，-2)，B3
(1)求E的方程;y
(2)设过点P(1，-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT
【高观点简析】AB为P所对应的极线,故P,M,C,N四点成调和点列,故AP,AM,AC,AN四条线成调和线束，因为直线HM平行AP，且T为HM中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H点必然在直线AN上，故直线HN过定(0,-2)
4
【详解】(I)解：设椭圆E的方程为mx2+ny2=1,过A0-2,
(II)证法一:定点为(0,-2),证明如下:
点P(1，-2)对应的极线为1?x3+-2
证法二：A0-2
①若过点P(1，-2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入x23+y24=1,可得M1-263,N12
②若过点P(1，-2)的直线斜率存在，设kx--y--(k+2)=0,M(x?,y?),N(x?,y?).
联立{kx?
可得且x1
联立{y=y
可求得此时.H
将(0,-2),代入整理得2
将(*)代入,得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立.
综上,可得直线HN过定点(0,-2).
高考模拟·新题速递
【题型1】极点极线
基础知识
二次曲线的极点极线
(1).二次曲线Ax
A
5
x2
(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x
①极点P(x?,y?)在椭圆外,PA,PB为椭圆的切线,切点为A,B则极线为切点弦AB
②极点P(x?，y?)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，则极线为切线l:
③极点P(x?,y?)在椭圆内,过点P作椭圆的弦AB,分别过A，B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x0
(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
题目1过点(3,1)作圆x-
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0