第1页，共30页，星期日，2025年，2月5日引言多项式是最基本的数学工具之一，由于其形式简单，且易于用计算机对其进行各种计算，在当今的社会中应用越来越广。不仅在像Maple这样的数学软件中有着举足轻重的作用，在工程、信息等诸多领域中都有着广阔的应用。下面我们给出几个多项式逼近的例子：第2页，共30页，星期日，2025年，2月5日多项式的基本运算加法运算求值运算乘法运算第3页，共30页，星期日，2025年，2月5日普通的多项式乘法运算多项式乘法是一个很常见的问题，在通常的算法中，两个次多项式的乘法需要用的时间才能完成。让我们先来看一看这样的算法是如何进行的：第4页，共30页，星期日，2025年，2月5日...................................第5页，共30页，星期日，2025年，2月5日在上面的过程中，似乎我们觉得这个算法并没有做任何多余的事情，因为我们必须考虑每一组,它们的乘积对最终的结果都会产生影响。而且我们不能通过调整计算顺序从根本上降低算法时间复杂度，至多只能使其常数因子稍小一些。如果我们不能跳出以上思维的局限，我们就不可能在根本上降低算法的时间复杂度。让我们首先换一个角度来考察多项式。第6页，共30页，星期日，2025年，2月5日多项式的点值表示法首先让我们来看多项式的另一种表示方法：点值表示法,即用（其中，互不相同）来表示一个不超过次多项式。给定一个多项式，要给出n组点值对最简单的方法是任选n个互不相同的xi，依次求出多项式在这n个点的值。用n个点值对也可以唯一确定一个不超过n-1次多项式，这个过程称之为插值。第7页，共30页，星期日，2025年，2月5日引理1（多项式插值的唯一性）对于任意n个点值对组成的集合,其中互不相同，则存在唯一的次数不超过n-1的多项式，满足continue第8页，共30页，星期日，2025年，2月5日存在性：已知不妨记为XA=YX是范德蒙矩阵，利用行列式的变换可得该矩阵的行列式的值为因此X有逆矩阵。第9页，共30页，星期日，2025年，2月5日唯一性：若两个函数次数不超过n-1次的多项式均符合题意，则多项式有n个根，且为不超过n-1次的多项式，所以,即。back第10页，共30页，星期日，2025年，2月5日点值多项式的乘法因此：适当的利用点值表示可以使多项式的乘法可以在线性时间内完成！第11页，共30页，星期日，2025年，2月5日因为f(x)g(x)的次数为n-1，r(x)的次数为2n-2,因此确定r(x)需要2n-1个点值对，而现在我们只有n个点值对。我们可以通过对f(x)与g(x)的点值对个数的扩充来解决这个问题，即将f(x),g(x）的点值对在一开始就取为2n-1。第12页，共30页，星期日，2025年，2月5日利用点值表示法改善多项式系数表示法的乘法下面让我们来看一看我们是否能够利用点值表示法在计算多项式乘法时的线性时间来提高系数表示法的多项式乘法的速度。为了做到这一点，我们需要做：将多项式由系数表示法转化为点值表示法(点值过程）利用点值表示法完成多项式乘法将点值表示法再转化为系数表示法（插值过程）其中第二步只需要线性时间。问题的关键转化为第一第三步。continue2continue1continue3第13页，共30页，星期日，2025年，2月5日1.由系数表示法转化为点值表示法。（点值过程）注意！x0,x1,…,xn-1是由我们自己选择的，我们可以充分利用这一点通过适当的选择使转化过程降为O(nlogn)。这里我们选择1的n次单位根作为x0,x1,…,xn-1，即其中第14页，共30页，星期日，2025年，2月5日引理2：对任何整数n=0,k=0,j0,成立：