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天津市小站一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位，则复数z=2i1+i在复平面内对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量a=(1,m)，b=(?2,3)，且a⊥b，则
A.2 B.23 C.?32
3.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是(????)
A.22
B.1
C.2
D.
4.已知α、β表示两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(????)
A.α⊥β，m?α，n?β?m⊥n B.α⊥β，m?α?m⊥β
C.α//β，m?α，n?β?m//n D.α⊥β，m⊥β，m?α?m//α
5.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为(????)
A.π B.2π C.4π D.12π
6.一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为(????)
A.12π B.4π C.82π
7.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了2km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了8km到达D地，则A，D两地的距离为(????)
A.219km B.53km
8.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为B1C
A.32 B.1010 C.
9.如图所示，在△ABC中，BD=12DC，AE=3ED，若AB=a
A.13a+13b
B.?
10.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图(1)所示.现有如图(2)所示的庑殿顶式几何体ABCDMN，其中正方形ABCD边长为3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距离为2，则几何体ABCDMN的体积为(????)
A.274 B.94 C.52
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若i是虚数单位，复数1+3i2?i3=
12.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1，且a与b的夹角为
13.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为______．
14.如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=4且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF______．
15.已知向量a，b的夹角为30°，|a|=2，|b|=3
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
设复数z=a2+a?2+(a2?7a+6)i，其中i为虚数单位，a∈R．
(1)若z是纯虚数，求实数a的值；
(2)在复平面内表示复数
17.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：B
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC=2sinA，求a，c
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=5，b=11，cosC=35．
(1)求c的值；
(2)求△ABC的面积；
(3)求sin(A?C)
20.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AC=AA1，D是BC的中点．
(Ⅰ)求证：A1B/?/平面AC1D；
(Ⅱ
答案和解析
1.【答案】A?
【解析】解：复数z=2i1+i=(2i)(1?i)(1+i)(1?i)=2+2i2=1+i，在复平面内的对应点位(1,1)，
故选?A．
2.【答案】B?
【解析】解：a=(1,m)，b=(?2,3)，且a⊥b，
则1×(?2)+3m=0，解得m=23．
故选：
3.【答案】A?
【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，
∴直角三角形的直角边长是2，
∴直角三角形的面积是12×2×2=1，
∴原平面图形的面积是1×22=2
4.【答案】D?
【解析】解：对于A选项，若α⊥β，m?α，n?β，则m、n的位置关系不确定，A错；
对于B选项，若α⊥β，m?α，则m与β的位置关系不确定，B错；
对于C选项，α/?/β，m?α，n?β，则m、n平行或异面，C错．
对于D选项，设α?