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广东省华南师大附中南海实验高级中学2024-2025学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=?3i(4?i)在复平面内对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.角α的终边过点P(?2,4)，则cos2α的值为(????)
A.45 B.?35 C.3
3.若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是(????)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知cos(3π2?α)cos
A.1 B.?1 C.5 D.?5
5.在△ABC中，AB=a,AC=b，M是AB的中点，N是
A.13a+23b B.1
6.已知|a|=1,|b|=1，a与b夹角为π3，则a?
A.60° B.90° C.120° D.150°
7.已知函数f(x)=tan(ωx?π4)(ω0)，若f(x)在区间(0,π)上单调递增，则
A.(0,34] B.(0,34)
8.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=l，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=(????)
A.l?tanθsinβsin(α+β)
B.l?tanθsin(α+β)sinβ
C.
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足z(1?i)=|1?3i|，则
A.z=1+i B.z的虚部为i C.z?=?1+i
10.下列式子化简正确的是(????)
A.cos17°cos13°?sin17°cos77°=12 B.cos15°cos60°cos75°=18
C.
11.在△ABC中，AC=25，tanA=2，向量AC在向量AB上的投影向量为13AB
A.边BC上的高为32 B.sinC=31010
C.CA
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知向量a，b不共线，若向量ka+b和a?2b共线，则实数
13.已知α∈(0,π)，cosα=?35，则cos2(
14.如图，动点C在以AB为直径的半圆O上(异于A，B)，DC⊥BC，|DC|=|BC|，|AB|=2，
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=(1,?2)，b=(?3,?k)．
(1)若a//b，求|b|的值；
(2)若a⊥(a+2b)，求实数k的值；
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)将f(x)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的12倍，再将所得图象上各点向右平移π6个单位长度，得到
17.(本小题12分)
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知asinA?csinCb?c=sinB，(b≠c)．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2c，△ABC的面积为32
18.(本小题12分)
北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台.赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型(图1)，体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神.某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2.在△ABC中，AB=AC=10，cosA=45，点B，H，C在线段MN上，且MB=BH=HC=CN，△PMH和△QNH都是等腰直角三角形，∠M=∠N=90°，PH交AB于点D，QH交AC于点E．
(1)求BC；(2)求sin∠AEQ；
(3)
19.(本小题12分)
对于函数?(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数?(x)的相伴特征向量，同时称函数?(x)为向量OM的相伴函数．
(1)设函数g(x)=sin(x?2π3)+cos(3π2+x)，试求函数g(x)的相伴特征向量；
(2)记向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x)；
答案解析
1.【答案】C?
【解析】解：因为z=?3i(4?i)=?12i+3i2=?3?12i，
所以复数z在复平面内对应的点为(?3,?12)，
所以z在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：C．
2.【答案】B?
【解析】解：因为角α的终边过点P(?2,4)，
所以cosα=?2(?2)2+42=?55，
所以cos2α=2