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2024-2025学年北京交通大学附属中学第二分校高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数fx=x，则
A.2 B.2 C.24
2.已知C8m=C82m?1
A.1 B.3 C.1或4 D.1或3
3.二项式x+1x4的展开式中常数项是
A.1 B.4 C.6 D.0
4.已知函数fx在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是(????)
A.f3?f12f′1f′3
5.从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有(????)
A.60种 B.50种 C.40种 D.30种
6.函数fx=x2
A. B.
C. D.
7.甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的A、B、C、D四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，则不同的安排方法数有(????)
A.36种 B.42种 C.54种 D.72种
8.设a0，b0，则alnablnb是ba1的(????
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
9.已知fx=x3?x，如果过点2,m可作曲线y=fx
A.?1m8 B.0m7 C.?3m5 D.?2m7
10.若对函数fx的任意一条切线l，均存在唯一一条切线l′使得l⊥l′，则称该函数为正交函数.给出下列四个函数：
①fx=x2，②fx
其中正交函数的个数为(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.C62+C63
12.已知二项式2x?1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n=??????????．
13.写出“使函数fx=kx?ex在1,+∞上存在最值”的实数k的一个值为
14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是球的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为??????????cm．
15.已知函数f(x)=xlnx,x0xex,x≤0，下列命题：f(x)的增区间是(?1,0)和1e,+∞；②f(x)有三个零点；③不等式f(x)≥?1e的解集为R；④关于x
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知1?2xn=a0+a1
(1)求n的值；
(2)求x2
(3)求a1+
17.(本小题12分)
已知函数fx
(1)求函数fx
(2)若2a?1≤fx对?x∈?2,4恒成立.求实数a
18.(本小题12分)
已知函数fx=ex，gx=ex.已知直线y=t分别交曲线y=fx和y=gx于点A
(1)写出St
(2)求St的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ln
(Ⅰ)若a=1，求fx的单调区间
(Ⅱ)若fx的最小值为1，求a的取值范围．
20.(本小题13分)
已知函数f
(1)求曲线y=fx在点0,f
(2)设gx=f′x，求证：g
(3)设实数a使得fxax对x∈0,+∞恒成立，求
21.(本小题14分
设n为正整数，集合An=αα=t1,t2,...,tn,
(1)若n=5，α=1,1,1,0,1，α?β=0,1,1,0,1，β=4
(2)若n=9，α1,α2,...,αkk≥2均为
(3)若α0,α1,α2,...,αkk≥2均为A
参考答案
1.C?
2.D?
3.C?
4.B?
5.D?
6.A?
7.B?
8.B?
9.D?
10.B?
11.35?
12.6?
13.2e(答案不唯一)?
14.6?
15.①③④?
16.(1)由题意可得2n
(2)C
所以x2的系数为40
(3)令x=1，可得1?25
令x=?1，可得35
两式相减可得a1
17.(1)因为fx=x
令f′x=0，可得x=?1或
所以当x?1或x3时f′x0，当?1x3时
所以函数fx的单调递增区间为?∞,?1，3,+∞，单调递减区间为?1,3
(2)由(1)可知，函数fx在区间?2,?1上单调递增，在?1,3上单调递减，在3,4
又f?2=?8?12+18+1=?1，
故当x∈?2,4时，f
因为2a?1≤fx对?x∈?2,4恒成立，则2a?1≤fx
因此，实数a的取值范围是?∞,?25
18.(1)由题意可知，St=1
因为t∈0,e，所以et1