PAGE
PAGE6
利用递推关系求通项公式
一、利用an与S
1、利用求通项时，要注意检验n=1时的情况。
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：
将和转化为项,即利用将和转化为项.
（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．
二、累加法求通项
1、适用于：an+1
2、若a
则an?an?1=f(n?1)；a
两边分别相加得：a
三、累乘法求通项
1、适用于：an+1
2、若an+1
则anan?1=fn?1，a
两边分别相乘得：a
四、构造法求通项
对于不满足an+1=a
1、形如an+1
=1\*GB3①若c=1时，数列an为等差数列；
=2\*GB3②若d=0时，数列an为等比数列；
=3\*GB3③若c≠1，d≠0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
（1）待定系数法：设an+1+λ=c(a
与题设an+1=can
所以有：a
因此数列an+dc?1构成以
（2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an+1=can
有an=can?1+d，两式相减有：an+1?a
再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。
2、形如：an+1=pan+
=1\*GB3①若p=1时，即：an+1=an
=2\*GB3②若p≠1时，即：an+1=pan
（1）两边同除以pn+1.目的是把所求数列构造成等差数列，即：a
令bn=a
（2）两边除以qn+1.目的是把所求数列构造成等比数列，即：a
令bn=a
（3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设an+1+λ?q
注意：应用待定系数法时，要求p≠q，否则待定系数法会失效。
3、形如an+1=pan+kn+b（其中k
（1）逐项相减法（阶差法）
（2）待定系数法通过配凑可转化为a
解题基本步骤：
=1\*GB3①确定fn=kn+b
=2\*GB3②设等比数列bn=(an+xn+y)，公比为
=3\*GB3③列出关系式an+xn+y=p(an?1
=4\*GB3④比较系数求x，y
=5\*GB3⑤解得数列an+xn+y的通项公式，并得出数列an的通项公式。
五、不动点法求通项
1、定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
2、在数列中，已知，且时，（是常数），
（1）当时，数列为等差数列；
（2）当时，数列为常数数列；
（3）当时，数列为等比数列；
（4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
4、设，满足递推关系，初值条件．
令，即，令此方程的两个根为，
(1)若,则有（其中）
(2)若,则有（其中）
5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,
题型一由Sn与an关系求通项
【例1】（2023·高二课时练习）设为数列的前项和，，求.
【变式1-1】（2023·宁夏·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知数列满足设数列的前n项和为，则．
【变式1-2】（2023·湖北·高二校考期中）数列的前项和为，若，则（）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（）
A．3B．6C．9D．12
题型二累加法求通项
【例2】（2023·云南红河·统考一模）已知数列满足：，则（）
A．21B．23C．25D．27
【变式2-1】（2023·福建·高二统考期中）若数列满足，，则（）
A．511B．1023C．1025D．2047
【变式2-2】（2023·北京·高二昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（）