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含参函数单调性问题讨论
一、导数与函数的单调性
1、用导数求函数的单调性的概念：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有
且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、确定函数单调区间的求法
（1）确定函数的定义域；
（2）求；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
二、含参函数单调性讨论依据
讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法
1、含参一次函数单调性讨论
（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；
（2）求解导函数的根；
（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.
2、含参二次函数单调性的讨论
（1）确定函数的定义域；
（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；
（3）可因式分解型，解得（注意讨论）；不可因式分解型，讨论及；
（4）讨论和的大小，能因式分解的，注意讨论；
（5）将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，
判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。
题型一导函数为一次型
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．讨论函数的最值；
【答案】答案见解析
【解析】由函数，可得其定义域为，且，
当时，可得，在上单调递增，无最值；
当时，令，可得，所以在上单调递减；
令，可得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上可得：当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【解析】因为的定义域为，
所以，其中，
当时，即，在上单调递增，
当时，即，
令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数.当时，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【解析】当时，，则，
当时，令解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以在上单调递减，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【变式1-3】（2023·甘肃武威·高二统考期中）已知函数.
（1）若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）由已知可得，.
根据导数的几何意义可知，，即，所以.
（2）由（1）知，，的定义域为.
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，由可得，.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
综上所述，当时，则在上单调递增；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
题型二导函数为二次可分解型
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为，，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
若，则恒成立，所以在上单调递增；
若，令，解得或（舍去），
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
综上所述：若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【解析】因为定义域为，
所以，
①当时恒成立，此时在上单调递增；
②当时令，解得或，
此时在，上单调递增，
令，解得，此时在单调递减；
③当时恒成立，此时单调递增；
④当时令，解得或，