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导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。
三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
题型一“求在”某点处的切线方程
【例1】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，故，
所以在点处的切线方程为，即.故选：C
【变式1-1】（2023·高二课时练习）（多选）若曲线在点处的切线方程是，则（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为点在直线上，所以.
由，则求导可得，
所以在点处的切线的斜率为.故选：AD.
【变式1-2】（2023·湖南·高二期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值.
【答案】
【解析】∵，，
∴曲线在点处的切线方程为，即，
又∵直线与曲线相切，
当时，曲线变为直线，与已知直线平行，
∴，可得，消去得，
由得.
【变式1-3】（2023·江苏盐城·高二阜宁中学校考期中）（多选）下列函数的图象可能与直线相切的是（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】因为直线的斜率为，
所以有解，则直线就可以为该函数图象的切线．
对于A，令，解得，满足条件；
对于B，因为恒成立，不满足条件；
对于C，令，解得，满足条件；
对于D，恒成立，不满足条件．故选：AC.
【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）若的图象在处的切线分别为，且，则（）
A．B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2D．在轴上的截距之积可能为
【答案】AC
【解析】对于A，B：由题意可得，当时，，
当时，，所以的斜率分别为，
因为，所以，得，
因为，所以，故A正确，B错误．
对于C，D：的方程为，即，
令，得，所以在轴上的截距为，
的方程为，可得在轴上的截距为，
所以在轴上的截距之差为，
在轴上的截距之积为，
故C正确，D错误．故选：AC
题型二求“过”某点的切线方程
【例2】（2022·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，设切点为，所以，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.故选：B
【变式2-1】（2023·重庆·高二南开中学校考开学考试）过点作曲线的切线，所得切线斜率为（）
A．－3B．0或3C．－3或24D．0
【答案】C
【解析】由已知可得，点不在曲线上，设切点为
因为，根据导数的几何意义可得，切线斜率，
又切线过点，所以，
所以，整理可得.
又，所以有，即，解得或.
当时，；当时，.
所以切线斜率为－3或24.故选：C.
【变式2-2】（2023·北京大兴·高二统考期中）已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，
把点代入切线方程得，，即，
又，所以，则，
则切点坐标为.故选：A
【变式2-3】（2023·江苏盐城·高二阜宁中学校联考期末）已知函数，其中是的导函数.
（1）求；
（2）求过原点与曲线相切的切线方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）因为，
所以，
令，得，解得；
（2）由（1）可知，