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导函数与原函数混合构造
常见的导函数与原函数混合构造类型
关系式为“加”型构造：
构造
（2）构造
（3）构造
（4）构造（注意的符号）
（5）构造
关系式为“减”型构造：
（6）构造
（7）构造
（8）构造
（9）构造（注意的符号）
（10）构造
题型一f(x)与g(x)的构造
【例1】（2023·江苏无锡·高三校考阶段练习）设函数，在上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
则在区间上是增函数，故，
即，
则，，
所以C正确，D错误，A，B不一定正确.故选：C．
【变式1-1】（2023·高二单元测试）设是R上的可导函数，分别为的导函数，且，则当时，有（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴函数是R上的减函数．
∴当时，，故选：C.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0时，，且，则不等式f(x)g(x)0的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x0时，，
所以F(x)在上单调递增．
又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
，所以F(x)是定义在R上的奇函数，
从而F(x)在上单调递增．
而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，
当时，f(x)g(x)0的解为；当时，f(x)g(x)0的解为；
综上可知不等式f(x)g(x)0的解集为.故选：A.
【变式1-3】（2023·安徽滁州·高二校联考阶段练习）设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，不妨设，，
则，所以在上单调递增，
因为与1的大小不确定，
所以无法比较的大小关系，故A、B无法判断；
则，即，
且，则，故D错误；
由，即，
且，则，C正确；故选：C．
【变式1-4】（2023·陕西汉中·高二校联考期末）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意：，
设，则，
由得，
因为，所以，
又、是定义域为的恒大于0的可导函数，
故，B错误，，A错误；
，
因为，不知道正负，所以C不一定成立；
，
即，D正确.故选：D.
题型二构造f(x)±一次/二次函数
【例2】（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，所以在R上递增，
又，
则不等式等价于，所以，故选：A
【变式2-1】（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，因为，所以，
可知函数在上单调递增，，
不等式化为，即，
由单调递增可得，即.故选:C.
【变式2-2】（2023·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
因为，所以，即函数在上单调递减，
则，即，即，
所以，即的解集为.故选：D
【变式2-3】（2023·江苏镇江·高二扬中高级中学校考阶段练习）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
可得，
即，所以为上的奇函数，
因为时，，可得，
所以在为单调递减函数，且，
所以函数在上为单调递减函数，
由不等式，
可得
整理得到，
即，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：B.
题型三构造f(x)·xn型函数
【例3】（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
由，可知，所以在上是增函数，
又，所以，即，故选：B.
【变式3-1】（2023·四川眉山·高二校考阶段练习