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5.3.1函数的单调性
重点：1、利用导数判断函数单调性；2、求简单函数的单调区间
难点：1、利用导数研究函数的单调性；2、理解函数与导函数的图象关系。
一、函数单调性概念及求法
1、函数的单调性的概念：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
二、已知函数的单调性求参数
1、函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
2、函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
3、已知函数在区间D内单调不存在变号零点
4、已知函数在区间D内不单调存在变号零点
三、研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。
题型一求不含参函数的单调区间
【例1】（2023·高二单元测试）（多选）函数的单调减区间可以为（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题意得，
令，解得或，
结合选项可知函数的单调减区间可以为,,故选:AC.
【变式1-1】（2023·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定义域为，
令，解得，所以在上单调递减.故选：D.
【变式1-2】（2023·江苏苏州·高二苏州第一中学校校考阶段练习）函数的增区间为．
【答案】
【解析】由函数，可得，
因为，令，即，解得，
所以函数的递增区间为.
【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，求函数的单调区间.
【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是.
【解析】由，可得，
令，解得，
当时，则，可得，在单调递减；
当时，则，可得，在单调递增；
故函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
题型二求含参函数的单调区间
【例2】（2023·全国·高二随堂练习）求函数的单调区间．
【答案】详见解析.
【解析】因为函数，
所以，
当时，令，得，，
当或时，；当时，；
当时，令，得或，
当或时，，当时，，
综上：当时，的增区间是，，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是，.
【变式2-1】（2023·高二课时练习）讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为，；
①当时，在上恒成立，在上单调递增；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）已知，．讨论的单调性；
【答案】在和上单调递增，在上单调递减
【解析】由题意，得
，
，∴，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减．
【变式2-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）由已知，
则，
当时，，，
则曲线在处的切线方程为，即
（2）由（1）知，，
①当时，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
②当时，由，得，
（ⅰ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
（ⅱ）当时，，，在单调递增；
（ⅲ）当时，，
当时，，在，单调递增；
当时，，在单调递减；
综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；
②当时，在，单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增；
④当时，在，单调递增，在单调递减.
题型三已知函数的单调性求参数
【例3】（2023·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，由条件知当时，，即，
令，是减函数，；故选：D.
【变式3-1】（2023·重庆·高二重庆十八中校考期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）
A．B