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4.3.2等比数列的前n项和公式
重点：掌握等比数列的前n项和公式及推导思路；
难点：会用等比数列的前n项和公式解决与等比数列前n项和有关的一些基本问题
一、等比数列的前n项和公式
已知量
首项与公比
首项，末项与公比
公式
二、等比数列前n项和的函数特征
1、与的关系
（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，
它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。
2、与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。
三、等比数列前n项和的性质
1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.
2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．
3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。
四、等比数列前n项和运算的技巧
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；
2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。
题型一等比数列的前n项和与基本量
【例1】（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（）
A．B．C．或D．－3或
【变式1-1】（2023·山东青岛·高二统考期中）设是数列的前项和，,，，，则（）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比的值为（）
A．B．1C．或1D．或1
【变式1-3】（2023·安徽宣城·高二统考期末）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（）
A．4B．16C．32D．64
题型二等比数列片段和的性质
【例2】（2023·江苏·高三期中）设等比数列的前项和为，若，则（）
A．B．C．D．3
【变式2-1】（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（）
A．B．-C．D．
【变式2-2】（2023·湖北宜昌·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（）
A．27B．45C．65D．73
【变式2-3】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（）
A．786B．240C．486D．726
题型三等比数列奇数项与偶数项的和
【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）
A．B．2C．D．
【变式3-2】（2022·贵州·统考模拟预测）在数列中，，，若，则（）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-3】（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）
A．B．C．D．
题型四等比数列前n项和的其他性质
【例4】（2023·上海浦东新·统考三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【变式4-1】（2023·江西赣州·统考一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（）
A．B．C．的最大值为D．的最大值为
【变式4-2】（2022·上海·统考模拟预