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天津市南开大学附中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若zz?1=1+i，则z=(????)
A.?1?i B.?1+i C.1?i D.1+i
2.已知向量a=(1,2)，b=(λ,?1)，c=(μ,?1)，若(a+
A.?2 B.?1 C.0 D.1
3.下列命题中正确的是(????)
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
4.楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形.若AB=6cm，EF=3cm，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为(????)
A.18cm3 B.24cm3 C.
5.已知向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且a⊥(a
A.π6 B.2π3 C.3π4
6.设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是(????)
A.若b//α，c?α，则b//c B.若b?α，b//c，则c?α
C.若c//α，α⊥β，则c⊥β D.若c//α，c⊥β，则α⊥β
7.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱C
A.22 B.32 C.
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若asinA+C2=bsinA,6S=3AB
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形
9.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(????)
A.2?14 B.2?12
10.如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，点E为AB的中点，BA?BC=0，BD?BA=BD?AD=4，若向量CE在向量CB上的投影向量的模为4，设M、N分别为线段CD、AD上的动点，且
A.[119,+∞) B.[119,
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知i是虚数单位，复数z1，z2满足z1=1?i，z1z2=3+i
12.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积S△ABC=23，a+b=6，acosB+bcosAc=2cosC，则c=
13.某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形A′B′C′D′(如图所示)，已知A′D′//B′C′，∠A′B′C′=45°，A′D′=A′B′=12B′C′=1，将该平面图形绕其直角腰AB
14.四面体A?BCD中，AB⊥底面BCD，AB=BD=2，CB=CD=1，则四面体A?BCD的外接球的表面积为______．
15.在四边形ABCD中，∠A=120°,AC=1,AB=2DC，M为AD中点.若AN=1
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,?2)，且a//c，b⊥c．
(1)求|2a+3
17.(本小题15分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a=7，b=2，且sinC=sinB+sin(A?B)．
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)求边c的大小；
(Ⅲ)
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)证明：AB//平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面
19.(本小题15分)
已知a=(sin2x+1,cos2x)，b=(?1,2)，x∈[0,π2].
(1)若a⊥b
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，
?(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；
?(2)求证：PA⊥平面PCD；
?(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
答案解析
1.【答案】C?
【解析】解：由于zz?1=1+i，
则z?1+1z?1=1+1z?1=1+i，即z?1=1i=?i，
可得z=1?i．
2.【答案】B?
【解析】解：因为a=(1