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江苏省常州市溧阳中学、常州高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m是实数，已知a=(2,2m?1,1
A.?6 B.?3 C.3
2.曲线y=x2+1x
A.y=x+1 B.y=3
3.在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
A.26 B.36 C.
4.盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是(????)
A.310 B.37 C.38
5.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l的方程为x
A.27 B.357 C.
6.若2a+ln
A.aln2bln3
7.已知动点P是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1
A.(0,13) B.(1
8.对于任意正实数x，y，都有(2x?ye)
A.(0,12] B.[1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是(????)
A.任意向量a,b,c满足(a?b)?c=a?(b?c)
B.若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则
10.对于随机事件A，B，若P(A)=25，P
A.P(AB)=320 B.
11.已知函数f(x)=
A.?1是f(x)的极大值
B.当?1a0时，f(a?1)f(a)
C.当
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.3，设Y
13.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA⊥平面A
14.若对任意的实数t，函数f(x)=(x?t)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间四点A(0,2,3)，B(2,?2,?1)，C(1,4,3)，D
16.(本小题15分)
盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．
(1)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？
(2)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色.两次展示的颜色中，黑色的次数记为X，求随机变量
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a，b为常数)在x=1处取得极值．
(1
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=2，PD=AB=BC=4.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱P
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex?x?a，a∈R，其中e是自然对数的底数．
(1)当a=?1时，求φ(x
答案和解析
1.【答案】B?
【解析】解：m是实数，a=(2,2m?1,1)，b=(4,3m?5
2.【答案】A?
【解析】解：因为y=f(x)=x2+1x，所以f′(x)=2x?
3.【答案】D?
【解析】解：如图，设AB=a，AC=b，AA1=c，三棱柱ABC?A1B1C1的棱长均为1，
则a?b=12，b?c=12，a?c=12，
而AB1=AB+A
4.【答案】C?
【解析】解：若第一次取到红球，第二次取到黑球的概率为：58×310=316，
若第一次取到黑球，第二次取到黑球的概率为：38×510=3
5.【答案】A?
【解析】解：因为经过点P(1,0,2)的直线l的方程为1?x=y3=z2?1，
即x?1?1=y3=z?22，
由题意得直线l的法向量为m=(?1,3,2)，
6.【答案】D?
【解析】解：设函数f(x)=lnxx，f′(x)=1?lnxx，
当x∈(0,e)时，f′(x)0，x∈(e,+
7.【答案】C?
【解析】解：由题设，建立如图所示空间直角坐标系：
则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
∴BD1=(?1,?1,1),BP=(?λ,
8.【答案】B?
【解析】解：因为(2x?ye)(lny?lnx)?2ax≤0，
所以(2?yxe)lnyx≤2a，
令t=yx，t0，f(t)=(2?te)lnt，则
9.【答案】BC
【解析】解：对于A：由于a?b为实数，b?c也为实数，故c和a不一定共线，故A错误；
对于B：对空间